Question

如圖，已知E、F分別為正方形ABCD的邊AB，BC的中點，AF與DE交于點M，O為BD的中點，則下列結論：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM；⑤AM=MF．其中正確結論的個數(shù)是

1. A.
   5個
2. B.
   4個
3. C.
   3個
4. D.
   2個

Answer 1

B
分析：根據(jù)正方形的性質可得AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，再根據(jù)中點定義求出AE=BF，然后利用“邊角邊”證明△ABF和△DAE全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠BAF=∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，從而求出∠AMD=90°，再根據(jù)鄰補角的定義可得∠AME=90°，從而判斷①正確；根據(jù)中線的定義判斷出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判斷出②錯誤；根據(jù)直角三角形的性質判斷出△AED、△MAD、△MEA三個三角形相似，利用相似三角形對應邊成比例可得===2，然后求出MD=2AM=4EM，判斷出④正確，設正方形ABCD的邊長為2a，利用勾股定理列式求出AF，再根據(jù)相似三角形對應邊成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM=MF，判斷出⑤正確；過點M作MN⊥AB于N，求出MN、NB，然后利用勾股定理列式求出BM，過點M作GH∥AB，過點O作OK⊥GH于K，然后求出OK、MK，再利用勾股定理列式求出MO，根據(jù)正方形的性質求出BO，然后利用勾股定理逆定理判斷出∠BMO=90°，從而判斷出③正確．
解答：在正方形ABCD中，AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，
∵E、F分別為邊AB，BC的中點，
∴AE=BF=BC，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠BAF=∠ADE，
∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°，
∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，
∴∠AMD=180°-（∠ADE+∠DAF）=180°-90°=90°，
∴∠AME=180°-∠AMD=180°-90°=90°，故①正確；
∵DE是△ABD的中線，
∴∠ADE≠∠EDB，
∴∠BAF≠∠EDB，故②錯誤；
∵∠BAD=90°，AM⊥DE，
∴△AED∽△MAD∽△MEA，
∴===2，
∴AM=2EM，MD=2AM，
∴MD=2AM=4EM，故④正確；
設正方形ABCD的邊長為2a，則BF=a，
在Rt△ABF中，AF===a，
∵∠BAF=∠MAE，∠ABC=∠AME=90°，
∴△AME∽△ABF，
∴=，
即=，
解得AM=a，
∴MF=AF-AM=a-a=a，
∴AM=MF，故⑤正確；
如圖，過點M作MN⊥AB于N，
則==，
即==，
解得MN=a，AN=a，
∴NB=AB-AN=2a-a=a，
根據(jù)勾股定理，BM===a，
過點M作GH∥AB，過點O作OK⊥GH于K，
則OK=a-a=a，MK=a-a=a，
在Rt△MKO中，MO===a，
根據(jù)正方形的性質，BO=2a×=a，
∵BM²+MO²=（a）²+（a）²=2a²，
BO²=（a）²=2a²，
∴BM²+MO²=BO²，
∴△BMO是直角三角形，∠BMO=90°，故③正確；
綜上所述，正確的結論有①③④⑤共4個．
故選B．
點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理的應用，勾股定理逆定理的應用，綜合性較強，難度較大，仔細分析圖形并作出輔助線構造出直角三角形與相似三角形是解題的關鍵．