【題目】如圖1△ABC中,∠ABC90°,AB1BC2,將線段BC繞點(diǎn)C順時旋轉(zhuǎn)90°得到線段CD,連接AD.

(1)說明△ACD的形狀,并求出△ACD的面積;

(2)把等腰直角三角板按如圖2的方式擺放,頂點(diǎn)ECB邊上,頂點(diǎn)FDC的延長線上,直角頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合.AB兩題中任選一題作答:

A .如圖3,連接DEBF,

猜想并證明DEBF之間的關(guān)系;將三角板繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°),直接寫出DEBF之間的關(guān)系.

B .將圖2中的三角板繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)α(0<α<360°),如圖4所示,連接BE,DF,連接點(diǎn)CBE的中點(diǎn)M,

猜想并證明CMDF之間的關(guān)系;當(dāng)CE1,CM時,請直接寫出α的值.

【答案】1)△ACD是等腰三角形,;(2ADE=BFDEBF,見解析;②DE=BFDEBF.

【解析】

1)過點(diǎn)AAE⊥CD于點(diǎn)E,則∠AEC=∠AED=90°.可證四邊形ABCE是矩形,從而AE=BC=2,AB=CE=1,可得AE垂直平分CD,從而△ACD是等腰三角形;再根據(jù)三角形的面積公式計算即可;

2A.①根據(jù)“SAS”可證△BCF≌△DCE,從而DE=BF,∠CBF=∠CDE,延長DEBF于點(diǎn)H,由∠DEC+∠CDE=90°,可證∠BEH+∠CBF=90°,所以∠BHE=90°,即DE⊥BF;

②證明方法同①;

B. ①延長MCDF于點(diǎn)N,延長CM至點(diǎn)G,使CM=MG,連接EG,根據(jù)“SAS”證明△MEG≌△MBC,從而BC=GE, BCGE,然后再證明△ECG≌△CFD,可得CG=DF,∠ECG=∠CFD,進(jìn)而可證明結(jié)論成立;

②作FHDC,交DC的延長線與點(diǎn)H,設(shè)FH=x,CH=y.由勾股定理列方程組求出xy的值,根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可知∠FCH =30°,進(jìn)而可求α=60°300°.

△ACD是等腰三角形,理由如下:

過點(diǎn)AAE⊥CD于點(diǎn)E,則∠AEC=∠AED=90°.

又∵∠ABC90°,∠BCE=90°,

∴四邊形ABCE是矩形,∴AE=BC=2AB=CE=1,∴CD=1,

AE垂直平分CD,∴AC=AD,

∴△ACD是等腰三角形,

;

(2)A:

①DE=BF,DE⊥BF.理由如下:

由旋轉(zhuǎn)可知,BC=CD=2,∠BCD=90°

等腰直角△CEF頂點(diǎn)ECB邊上,頂點(diǎn)FDC的延長線上,

∴CE=CF,∠BCF=∠DCE=90°.

△BCF△DCE中,BC=DC,∠BCF=∠DCECF=CE,

∴△BCF≌△DCE(SAS),∴DE=BF,∠CBF=∠CDE,

延長DEBF于點(diǎn)H

∵∠DEC+∠CDE=90°,∠DEC=∠BEH∴∠BEH+∠CBF=90°,

∴∠BHE=90°,∴DE⊥BF;

②DE=BF,DE⊥BF.證明方法同①;

B:①CM=DFCM⊥DF.理由如下:

延長MCDF于點(diǎn)N,延長CM至點(diǎn)G,使CM=MG,連接EG

∵M(jìn)BE的中點(diǎn),∴ME=MB.

△MEG△MBC中,ME=MB,∠EMG=∠BMC,MG=MC

∴△MEG≌△MBC(SAS),∴CM=MG=CG,BC=GE BCGE,

∵BC=CD,∴EG=CD.

由旋轉(zhuǎn)得∠BCE=α,

BCGE,∴∠CEG=180°-α,

∠DCF=360°-∠ECF-∠BCE-∠BCD=180°-α,

∴∠CEG=∠DCF

△ECG△CFD中,CE=CF,∠CEG=∠DCF∠CEG=∠DCF,

∴△ECG≌△CFD(SAS),∴CG=DF,∠ECG=∠CFD

∵M(jìn)G=MC,∴MC=DF

∵∠ECF=90°,∴∠ECG+∠FCN=∠FCD+∠FCN=90°

∴∠CNF=90°,∴DE⊥BF

FHDC,交DC的延長線與點(diǎn)H,設(shè)FH=xCH=y.

CM=,∴DF=CG=

,解之得.

FH=CF,

∴∠FCH =30°,∴∠FCD=120°,∴∠BCE=60°,

∴α=60°300°.

練習(xí)冊系列答案
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1)如圖1,當(dāng)D點(diǎn)在BC上時,BECF的數(shù)量關(guān)系是   

2)如圖2,把DECC點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°,其他條件不變,問(1)中的關(guān)系是否仍然成立?請說明理由.

3)如圖3,把DECC點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)一個鈍角,其他條件不變,問(1)中的關(guān)系是否仍然成立?如成立請證明,如果不成立,請寫出相應(yīng)的正確的結(jié)論并加以證明.

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1)根據(jù)題意,完成以下表格:

裁剪法A

裁剪法B

長方形側(cè)面

x

   

圓形底面

   

0

2)若裁剪出的長方形側(cè)面和圓形底面恰好用完,問能做多少個紙盒?

3)按以上制作方法,若店員們希望準(zhǔn)備300個禮盒,那至少還需要正方形紙板   張.

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(1)求第一批每支鋼筆的進(jìn)價是多少元?

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