Question

若拋物線y1=a1x2+b1x+c1與y2=a2x2+b2x+c2滿足

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

=k(k≠0，1)，則稱(chēng)y₁，y₂互為“相關(guān)拋物線”．給出如下結(jié)論：
①y₁與y₂的開(kāi)口方向，開(kāi)口大小不一定相同；
②y₁與y₂的對(duì)稱(chēng)軸相同；
③若y₂的最值為m，則y₁的最值為k²m；
④若y₂與x軸的兩交點(diǎn)間距離為d，則y₁與x軸的兩交點(diǎn)間距離也為d．
其中正確的結(jié)論的序號(hào)是

①②④

（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上）．

Answer 1

分析：根據(jù)相關(guān)拋物線的條件，a₁、a₂的符號(hào)不一定相同，即可得到開(kāi)口方向、開(kāi)口大小不一定相同，代入對(duì)稱(chēng)軸-

b

2a

和

4ac-b2

4a

即可判斷②、③，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出與x軸的兩交點(diǎn)的距離|g-e|和|d-m|，即可判斷④．

解答：解：由已知可知：a₁=ka₂，b₁=kb₂，c₁=kc₂，
①根據(jù)相關(guān)拋物線的條件，a₁、a₂的符號(hào)不一定相同，所以開(kāi)口方向、開(kāi)口大小不一定相同，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
②因?yàn)?span id="3vawoft" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

a1

a2

=

b1

b2

=k，代入-

b

2a

得到對(duì)稱(chēng)軸相同，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
③因?yàn)槿绻鹹₂的最值是m，則y₁的最值是

4a1c1- b 2 1

4a1

=k•

4a2c2- b 2 2

4a2

=km，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
④因?yàn)樵O(shè)拋物線y₁與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（e，0），（g，0），則e+g=-

b1

a1

，eg=

c1

a1

，拋物線y₂與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（m，0），（d，0），則m+d=-

b2

a2

，md=

c2

a2

，可求得：|g-e|=|d-m|=

b 2 1 -4a1c1 a 2 1

，故本選項(xiàng)正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)相關(guān)拋物線的條件進(jìn)行判斷．