Question

問題：你能比較2009²⁰¹⁰和2010²⁰⁰⁹的大小嗎？
為了解決這個問題，我們先把它抽象成數(shù)學(xué)問題，寫出它的一般形式，即比較nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大�。╪為正整數(shù)），我們從n=1，n=2，n=3…這些簡單的情況入手，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)過歸納，猜出結(jié)論．
（1）通過計算，比較下列各組數(shù)字大小
①1²______2¹②2³______3²③3⁴______4³
④4⁵______5⁴⑤5⁴______6⁵⑥6⁷______7⁶
…
（2）把第（1）題的結(jié)果經(jīng)過歸納，你能得出什么結(jié)論？
（3）根據(jù)上面的歸納猜想得到的結(jié)論，試比較兩個數(shù)的大小：
2009²⁰¹⁰______2010²⁰⁰⁹（填“＞”、“＜”或“=”）

Answer 1

解：（1）通過計算得出：1²＜2¹，2³＜3²，3⁴＞4³，4⁵＞5⁴，5⁴＞6⁵，6⁷＞7⁶，
（2）把第（1）題的結(jié)果經(jīng)過歸納得出：
當(dāng)n≤2時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
當(dāng)n＞2時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ，
（3）根據(jù)以上結(jié)論得出：2009²⁰¹⁰＞2010²⁰⁰⁹，
故答案為2009²⁰¹⁰＞2010²⁰⁰⁹．
分析：（1）通過計算即可得出答案，（2）分類進行討論：當(dāng)n≤2時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，當(dāng)n＞2時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ，（3）根據(jù)規(guī)律進行比較即可．
點評：本題考查了有理數(shù)的乘方和有理數(shù)大小比較，解題的關(guān)鍵是通過計算發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律進行判斷就容易了．