Question

【題目】如圖，已知拋物線經過點A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三點，點D與點C關于x軸對稱，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為（m，0），過點P作x軸的垂線交拋物線于點Q，交直線BD于點M．

（1）求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達式；

（2）點P在線段AB上運動的過程中，是否存在點Q，使得△BOD∽△QBM？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）已知點F（0，），點P在x軸上運動，試求當m為何值時以D、M、Q、F為頂點的四邊形是平行四邊形．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）存在，點Q的坐標為（3，2）；（3）m＝﹣1或m＝3或m＝1+或1﹣時，四邊形DMQF是平行四邊形．

【解析】

（1）根據待定系數(shù)法求解可得；

（2）利用△BOD∽△QBM得，再證△MBQ∽△BPQ得，解之即可得此時m的值．

（3）先利用待定系數(shù)法求出直線BD解析式為y=x-2，則Q（m，-m2+m+2）、M（m，m-2），由QM∥DF且四邊形DMQF是平行四邊形知QM=DF，據此列出關于m的方程，解之可得．

（1）由拋物線過點A（﹣1，0）、B（4，0）可設解析式為y＝a（x+1）（x﹣4），

將點C（0，2）代入，得：﹣4a＝2，

解得：a＝﹣，

則拋物線解析式為y＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+x+2；

（2）如圖所示：

∵當△BOD∽△QBM時，

則，

∵∠MBQ＝90°，

∴∠MBP+∠PBQ＝90°，

∵∠MPB＝∠BPQ＝90°，

∴∠MBP+∠BMP＝90°，

∴∠BMP＝∠PBQ，

∴△MBQ∽△BPQ，

∴，

∴，

解得：m1＝3、m2＝4，

當m＝4時，點P、Q、M均與點B重合，不能構成三角形，舍去，

∴m＝3，點Q的坐標為（3，2）；

（3）由題意知點D坐標為（0，﹣2），

設直線BD解析式為y＝kx+b，

將B（4，0）、D（0，﹣2）代入，得：，

解得：，

∴直線BD解析式為y＝x﹣2，

∵QM⊥x軸，P（m，0），

∴Q（m，﹣m2+m+2）、M（m，m﹣2），

則QM＝﹣m2+m+2﹣（m﹣2）＝﹣m2+m+4，

∵F（0，）、D（0，﹣2），

∴DF＝，

∵QM∥DF，

∴當|﹣m2+m+4|＝時，四邊形DMQF是平行四邊形，

解得：m＝﹣1或m＝3或m＝1+或1﹣

即m＝﹣1或m＝3或m＝1+或1﹣時，四邊形DMQF是平行四邊形．