【題目】如圖,⊙O過ABCD的三頂點(diǎn)A、D、C,邊AB與⊙O相切于點(diǎn)A,邊BC與⊙O相交于點(diǎn)H,射線AD交邊CD于點(diǎn)E,交⊙O于點(diǎn)F,點(diǎn)P在射線AO上,且∠PCD=2∠DAF.
(1)求證:△ABH是等腰三角形;
(2)求證:直線PC是⊙O的切線;
(3)若AB=2,AD=,求⊙O的半徑.
【答案】(1)證明參見解析;(2)證明參見解析;(3).
【解析】
試題分析:(1)要想證明△ABH是等腰三角形,只需要根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得∠B=∠ADC,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ),可得∠ADC+∠AHC=180°,再根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ),可知∠AHC+∠AHB=180°,從而可以得到∠ABH和∠AHB的關(guān)系,從而可以證明結(jié)論成立;(2)要證直線PC是⊙O的切線,只需要連接OC,證明∠OCP=90°即可,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和邊AB與⊙O相切于點(diǎn)A,可以得到∠AEC的度數(shù),又∠PCD=2∠DAF,∠DOF=2∠DAF,∠COE=∠DOF,通過轉(zhuǎn)化可以得到∠OCP的度數(shù),從而可以證明結(jié)論;(3)根據(jù)題意和(1)(2)可以得到∠AED=90°,由平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理,由AB=2,AD=,可以求得半徑的長.
試題解析:(1)證明:∵四邊形ADCH是圓內(nèi)接四邊形,∴∠ADC+∠AHC=180°,又∵∠AHC+∠AHB=180°,∴∠ADC=∠AHB,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠ADC=∠B,∴∠AHB=∠B,∴AB=AH,∴△ABH是等腰三角形;(2)證明:連接OC,如右圖所示,∵邊AB與⊙O相切于點(diǎn)A,∴BA⊥AF,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,∴CD⊥AF,又∵FA經(jīng)過圓心O,∴弧DF=弧CF,∠OEC=90°,∴∠COF=2∠DAF,又∵∠PCD=2∠DAF,∴∠COF=∠PCD,∵∠COF+∠OCE=90°,∴∠PCD+∠OCE=90°,即∠OCP=90°,
∴直線PC是⊙O的切線;(3)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴DC=AB=2,∵FA⊥CD,∴DE=CE=1,∵∠AED=90°,AD=,DE=1,∴AE=,設(shè)⊙O的半徑為r,則OA=OD=r,OE=AE﹣OA=4﹣r,∵∠OED=90°,DE=1,∴r2=(4﹣r)2+12,解得,r=,即⊙O的半徑是.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】矩形中,點(diǎn)分別在邊上,點(diǎn)分別在邊上,與交于點(diǎn),記.
(1)如圖1,當(dāng)時(shí),若,求的值;
(2)如圖2,當(dāng)時(shí),求的最大值和最小值;
(3)若的值為3,當(dāng)與重合且為直角三角形時(shí),直接寫出的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明對(duì)自己所在班級(jí)的50名學(xué)生平均每周參加課外活動(dòng)的時(shí)間進(jìn)行了調(diào)查,由調(diào)查結(jié)果繪制了頻數(shù)分布直方圖,根據(jù)圖中信息回答下列問題:
(1)求m的值;
(2)從參加課外活動(dòng)時(shí)間在6~10小時(shí)的5名學(xué)生中隨機(jī)選取2人,請(qǐng)你用列表或畫樹狀圖的方法,求其中至少有1人課外活動(dòng)時(shí)間在8~10小時(shí)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①、圖②,在給定的一張矩形紙片上作一個(gè)正方形,甲、乙兩人的作法如下:
甲:以點(diǎn)A為圓心,AD長為半徑畫弧,交AB于點(diǎn)E,以點(diǎn)D為圓心,AD長為半徑畫弧,交CD于點(diǎn)F,連接EF,則四邊形AEFD即為所求;
乙:作∠DAB的平分線,交CD于點(diǎn)M,同理作∠ADC的平分線,交AB于點(diǎn)N,連接MN,則四邊形ADMN即為所求.
對(duì)于以上兩種作法,可以做出的判定是( )
A.甲正確,乙錯(cuò)誤B.甲、乙均正確
C.乙正確,甲錯(cuò)誤D.甲、乙均錯(cuò)誤
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線l1∥l2,⊙O與l1和l2分別相切于點(diǎn)A和點(diǎn)B.點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是l1和l2上的動(dòng)點(diǎn),MN沿l1和l2平移.⊙O的半徑為1,∠1=60°.有下列結(jié)論:①MN=;②若MN與⊙O相切,則AM=;③若∠MON=90°,則MN與⊙O相切;④l1和l2的距離為2,其中正確的有( )
A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某倉儲(chǔ)中心有一斜坡AB,其坡度為i=1:2,頂部A處的高AC為4m,B、C在同一水平地面上.
(1)求斜坡AB的水平寬度BC;
(2)矩形DEFG為長方體貨柜的側(cè)面圖,其中DE=2.5m,EF=2m,將該貨柜沿斜坡向上運(yùn)送,當(dāng)BF=3.5m時(shí),求點(diǎn)D離地面的高.(結(jié)果保留根號(hào))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,BA=BC,BD平分∠ABC.
(1)求證:四邊形ABCD是菱形;
(2)過點(diǎn)D作DE⊥BD,交BC的延長線于點(diǎn)E,若BC=5,BD=8,求四邊形ABED的周長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,將對(duì)角線AC繞對(duì)角線交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),分別交邊AD、BC于點(diǎn)E、F,點(diǎn)P是邊DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且保持DP=AE,連接PE、PF,設(shè)AE=x(0<x<3).
(1)填空:PC= ,FC= ;(用含x的代數(shù)式表示)
(2)求△PEF面積的最小值;
(3)在運(yùn)動(dòng)過程中,PE⊥PF是否成立?若成立,求出x的值;若不成立,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在甲乙兩個(gè)不透明的口袋中,分別有大小、材質(zhì)完全相同的小球,其中甲口袋中的小球上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,乙口袋中的小球上分別標(biāo)有數(shù)字2,3,4,先從甲袋中任意摸出一個(gè)小球,記下數(shù)字為m,再從乙袋中摸出一個(gè)小球,記下數(shù)字為n.
(1)請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法表示出所有(m,n)可能的結(jié)果;
(2)小明和小利做游戲,若m,n都是方程x2﹣5x+6=0的解時(shí),則小明獲勝;若m,n都不是方程x2﹣5x+6=0的解時(shí),則小利獲勝,這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎?為什么?
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