Question

【題目】已知△ABC是等邊三角形.

(1)如圖1，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，∠ADE＝60°，且DE交△ABC外角∠ACF的平分線CE于點(diǎn)E，求證：AD＝DE；(提示：取AB的中點(diǎn)G，連接DG)

(2)小穎對(1)題進(jìn)行了探索：如果將(1)題中的“點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)D是直線BC上任意一點(diǎn)(B、C兩點(diǎn)除外)”，其它條件不變，結(jié)論AD＝DE是否仍然成立？小穎將點(diǎn)D的位置分為三種情形，畫出了圖2、圖3、圖4，現(xiàn)在請你在圖2、圖3、圖4中選擇一種情形，幫小穎驗證：結(jié)論AD＝DE是否仍然成立？

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)成立，證明見解析.

【解析】

（1）取AB的中點(diǎn)G，連接DG，根據(jù)“ASA”證明△AGD≌△DCE即可；

（2）小穎的觀點(diǎn)正確.如圖2中，在AB上取一點(diǎn)M，使BM＝BD，連接MD.如圖3中，延長BA到M，使AM＝CD，利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可.

解：（1）取AB的中點(diǎn)G，連接DG，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC=∠B=∠ACB＝60°，BA＝BC=AC,AD⊥BC,

∴CD=,∠BAD=30°,

∵G是AB中點(diǎn)，

∴AG=DG=,

∴AG=CD, △BGD是等邊三角形，∠BGD＝60°，∠AGD＝120°.

∵∠ADE＝60°，

∴∠CDE=30°,

∴∠GAD=∠CDE.

∵CE是外角∠ACF的平分線，

∴∠ECA＝60°，

∴∠DCE＝120°.

∴∠AGD＝∠DCE.

在△AGD和△DCE中，

,

∴△AGD≌△DCE(ASA).

∴AD＝DE.

(2)小穎的觀點(diǎn)正確.

證明：如圖2中，在AB上取一點(diǎn)M，使BM＝BD，連接MD.

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B＝60°，BA＝BC.

∴△BMD是等邊三角形，∠BMD＝60°.∠AMD＝120°.

∵CE是外角∠ACF的平分線，

∴∠ECA＝60°，∠DCE＝120°.

∴∠AMD＝∠DCE.

∵∠ADE＝∠B＝60°，∠ADC＝∠2+∠ADE＝∠1+∠B

∴∠1＝∠2.

又∵BA﹣BM＝BC﹣BD，即MA＝CD.

在△AMD和△DCE中，

，

∴△AMD≌△DCE(ASA).

∴AD＝DE.

如圖3中，延長BA到M，使AM＝CD，

與(1)相同，可證△BDM是等邊三角形，

∵∠CDE＝∠ADB+∠ADE＝∠ADB+60°，

∠MAD＝∠B+∠ADB＝∠ADB+60°，

∴∠CDE＝∠MAD，

同理可證，△AMD≌△DCE，

∴AD＝DE.

如圖4中，同法可證AD＝DE.