【題目】平面直角坐標(biāo)系中,以點P(2,a)為圓心的⊙P與y軸相切,直線y=x與⊙P相交于點A、B,且AB的長為2,則a的值為_____.
【答案】2+或2﹣
【解析】
設(shè)⊙P與y軸相切于點C,連接PC,則有PC⊥OC,根據(jù)點P的坐標(biāo)可得⊙P的半徑PC為2,由于滿足條件的點P可能在直線y=x的上方,也可能在直線y=x的下方,因此需分兩種情況討論.當(dāng)點P在直線y=x上方時,如圖1,連接CP并延長交直線y=x于點E,則有CE=OC.過點P作PD⊥AB于D,由垂徑定理可求出AD,在Rt△ADP中,運用勾股定理可求出PD,在Rt△PDE中,運用三角函數(shù)可求出PE,就可求出a的值;當(dāng)點P在直線y=x下方時,如圖2,連接PC,過點P作PD⊥AB于D,過點P作x軸的垂線交x軸與點M,交AB于點N,
同理可得:OM=MN,PD=1,PN=.易證四邊形PCOM是矩形,從而有OM=PC=2,OC=PM,進(jìn)而可以求出a的值,問題得以解決.
設(shè)⊙P與y軸相切于點C,連接PC,則有PC⊥OC.
∵點P的坐標(biāo)為(2,a),∴PC=2.
①若點P在直線y=x上方,如圖1,
連接CP并延長交直線y=x于點E,則有CE=OC.
∵CE⊥OC,CE=OC,
∴∠COE=∠CEO=45°.
過點P作PD⊥AB于D,
由垂徑定理可得:AD=BD=AB=×2=.
在Rt△ADP中,
PD==1.
在Rt△PDE中,
sin∠PED=,
解得:PE=.
∴OC=CE=CP+PE=2+.
∴a=2+.
②若點P在直線y=x下方,如圖2,
連接PC,過點P作PD⊥AB于D,
過點P作x軸的垂線交x軸與點M,交AB于點N,
同理可得:OM=MN,PD=1,PN=.
∵∠PCO=∠COM=∠PMO=90°,
∴四邊形PCOM是矩形.
∴OM=PC=2,OC=PM.
∴OC=PM=MN﹣PN=OM﹣PN=2﹣.
∴a=2﹣.
故答案為:2+或2﹣.
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【題目】給出下列說法,其中正確的是( )
①關(guān)于的一元二次方程,若,則方程一定沒有實數(shù)根;
②關(guān)于的一元二次方程,若,則方程必有實數(shù)根;
③若是方程的根,則;
④若,,為三角形三邊,方程有兩個相等實數(shù)根,則該三角形為直角三角形.
A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①③④
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【題目】現(xiàn)有一面12米長的墻,某農(nóng)戶計劃用28米長的籬笆靠墻圍成一個矩形養(yǎng)雞場ABCD(籬笆只圍AB、BC、CD三邊),其示意圖如圖所示.
(1)若矩形養(yǎng)雞場的面積為92平方米,求所用的墻長AD.(結(jié)果精確到0.1米)(參考數(shù)據(jù):=1.41,=1.73,=2.24)
(2)求此矩形養(yǎng)雞場的最大面積.
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3a經(jīng)過點A(﹣1,0)、C(0,3),與x軸交于另一點B,拋物線的頂點為D.
(1)求此二次函數(shù)解析式;
(2)連接DC、BC、DB,求證:△BCD是直角三角形;
(3)在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P,使得△PDC為等腰三角形?若存在,求出符合條件的點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,點A,B,C都在拋物線y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5(其中﹣<a<0)上,AB∥x軸,∠ABC=135°,且AB=4.
(1)填空:拋物線的頂點坐標(biāo)為 (用含m的代數(shù)式表示);
(2)求△ABC的面積(用含a的代數(shù)式表示);
(3)若△ABC的面積為2,當(dāng)2m﹣5≤x≤2m﹣2時,y的最大值為2,求m的值.
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【題目】如圖,C、D是以AB為直徑的⊙O上的點,,弦CD交AB于點E.
(1)當(dāng)PB是⊙O的切線時,求證:∠PBD=∠DAB;
(2)求證:BC2﹣CE2=CEDE;
(3)已知OA=4,E是半徑OA的中點,求線段DE的長.
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c滿足下表:下列說法:①該函數(shù)圖像為開口向下的拋物線;②該函數(shù)圖像的頂點坐標(biāo)為:(1,3);③方程ax2+bx+c=-2在2與3之間存在一個根;④A(-2018,m),B(2019,n)在該二次函數(shù)圖像上,則m>n.其中正確的是_______(只需寫出序號).
x | … | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
y | … | -5 | 1 | 3 | 1 | … |
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【題目】某市中考必須在歷史、地理、生物三門學(xué)科(分別用L、D、S表示)中隨機(jī)抽考一門進(jìn)行升學(xué)考試.
(1)用列舉法寫出連續(xù)兩年抽考的情況;
(2)求連續(xù)兩年抽到相同學(xué)科進(jìn)行升學(xué)考試的概率.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點A的坐標(biāo)為(5,0),點B的坐標(biāo)為(8,4),點C的坐標(biāo)為(3,4),連接AB、BC、OC
(1)求證四邊形OABC是菱形;
(2)直線l過點C且與y軸平行,將直線l沿x軸正方向平移,平移后的直線交x軸于點P.
①當(dāng)OP:PA=3:2時,求點P的坐標(biāo);
②點Q在直線1上,在直線l平移過程中,當(dāng)△COQ是等腰直角三角形時,請直接寫出點Q的坐標(biāo).
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