【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,4),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,4),連接AB、BC、OC

(1)求證四邊形OABC是菱形;

(2)直線l過(guò)點(diǎn)C且與y軸平行,將直線l沿x軸正方向平移,平移后的直線交x軸于點(diǎn)P.

①當(dāng)OP:PA=3:2時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);

②點(diǎn)Q在直線1上,在直線l平移過(guò)程中,當(dāng)COQ是等腰直角三角形時(shí),請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)①點(diǎn)P坐標(biāo)為(3,0)(15,0);②點(diǎn)Q坐標(biāo)為:(﹣4,3),(7,1),(,

【解析】

1)根據(jù)兩點(diǎn)距離公式可求AO=BC=CO=AB=5,即可證四邊形OABC是菱形;
2)①分點(diǎn)P在線段OA上,在點(diǎn)A右側(cè)兩種情況討論,根據(jù)題意可求OP的長(zhǎng),即可求點(diǎn)P的坐標(biāo);
②分三種情況討論,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì),可求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

證明:(1點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(84),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,4),O點(diǎn)坐標(biāo)(0,0

AOBC5,CO5,AB 5

AOBCCOAB5

四邊形ABCO是菱形

2當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上,

OPPA32,OP+AP5

OP3,PA2

點(diǎn)P坐標(biāo)為(30

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè),

OPPA32,OPAPOA5

OP15AP10

點(diǎn)P坐標(biāo)為(15,0

如圖,當(dāng)COQ90°,OCOQ時(shí),過(guò)點(diǎn)CCEOAE,則OE3,CE4

∵∠COE+POQ90°,COE+OCE90°,

∴∠OCEPOQ,且OCOQ,CEOOPQ

COEQOPAAS

PQOE3,OPCE4

點(diǎn)Q坐標(biāo)(﹣4,3

如圖,當(dāng)OCQ90°,OCCQ時(shí),過(guò)點(diǎn)CCEOA于點(diǎn)E,則CE4,OE3,

過(guò)點(diǎn)QFQCE于點(diǎn)F,

∵∠OCE+ECQ90°ECQ+CQF90°,

∴∠OCECQF,且OCCQ,OECCFQ9,

OECCFQAAS

CFOE3,FQCE4,

EF1

QFCE,CEAO,PQOA

四邊形EPQF是矩形

EPFQ4

OP7

點(diǎn)Q坐標(biāo)為(7,1

如圖,若CQO90°,CQOQ時(shí),過(guò)點(diǎn)CCEOA于點(diǎn)E,則CE4,OE3,

∵∠CQH+OQP90°,PQO+QOP90°,

∴∠CQHQOP,且OQCQ,CHQOPQ90°

OPQQHCAAS

OPHQ,CHPQ,

CEOA,PHBC,PHOA

四邊形CEPH是矩形,

EPCHPQ,HPCE4,

HQ+PQHP4OP+EPOPEPOE3,

OP,EPPQ

點(diǎn)Q坐標(biāo)(

綜上所述:點(diǎn)Q坐標(biāo)為:(﹣4,3),(7,1),(

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求二次函數(shù)的解析式;

(2)P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)E,求線段PE長(zhǎng)度的最大值.

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(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;

(2)如圖1,連接DC,DB,設(shè)BCD的面積為S,S的最大值;

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)DDMBC于點(diǎn)M,是否存在點(diǎn)D,使得CDM中的某個(gè)角恰好等于∠ABC2倍?若存在,直接寫出點(diǎn)D的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(1)請(qǐng)?jiān)趫D中,畫出ABC向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的△A1B1C1

(2)以點(diǎn)O為位似中心,將ABC縮小為原來(lái)的,得到△A2B2C2,請(qǐng)?jiān)趫D中y軸右側(cè),畫出△A2B2C2,并求出∠A2C2B2的正弦值.

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