Question

已知：如圖，在△ABC中，E是BC的中點(diǎn)，D在AC邊上，若AC長是1，且∠BAC=60°，∠ABC=100°，∠DEC=80°，求S_△ABC+2S_△CDE．

Answer 1

分析：△ABC和△CDE都是一般斜三角形，直接根據(jù)已知條件不易求得結(jié)果，但是由于△ABC中AC已知，且∠BAC=60°，若以AC為一邊和以∠BAC為-內(nèi)角構(gòu)成直角三角形或一個等邊三角形，則這兩種三角形面積都能求．

解答：解：S_△ABC+2S_△CDE=

3

8

．
（1）如圖：過C作AB的垂線交AB的延長線于G，
∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE=CE=GE，
∴∠GBC=∠BGE=80°．
∵∠ABC=100°，∠DEC=80°，∠A=60°，
∴∠BCA=20°，∠EDC=80°．
∴△CDE≌△EBG，
∴S_△BGE=S_△DEC，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴S_△BGC=2S_△BGE，
∴2S_△CDE=S_△CBG，
∴S_△ABC+2S_△CDE=S_△ABC+S_△CBG
=S_△CGA=

1

2

AG•CG
=

3

8

．
這是構(gòu)成直角三角形的解法；

（2）如圖：以AC為一邊，∠BAC為-內(nèi)角，構(gòu)成正△ACG．
作∠GCB的平分線交GA于F，
則S_△GAC=

1

2

AC2•sin60°=

3

4

．
可證△BAC≌△FGC，△CED∽△CBF．
∵CE=

1

2

BC，
∴S_△CED=

1

4

S_△CFB，
∴S_△ABC+2S_△CDE=S_△ABC+

1

2

S_△CFB=

1

2

S_△CGA=

3

8

．

點(diǎn)評：本題通過構(gòu)造三角函數(shù)和等邊三角形可以求解，利用直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)求解．