Question

如圖，拋物線y=-

1

2

x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x=

1

2

，OA=2，OD平分∠BOC交拋物線于點(diǎn)D（點(diǎn)D在第一象限）．
（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在一點(diǎn)P，使得△BPD的周長最��？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)N，使A、D、M、N四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的M點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）∵OA=2
∴A（-2，0）
∵A與B關(guān)于直線x=

1

2

對(duì)稱
∴B（3，0），
由于A、B，兩點(diǎn)在拋物線上，
∴

-2-2b+c=0 - 9 2 +3b+C=0

；
解得

b= 1 2 c=3

；
∴y=-

1

2

x2+

1

2

x+3
過D作DE⊥x軸于E
∵∠BOC=90°，OD平分∠BOC
∴∠DOB=45°，∠ODE=45°，
∴DE=OE
即x_D=y_D，
∴x=-

1

2

x2+

1

2

x+3，
解得x₁=2，x₂=-3（舍去）
∴D（2，2）；（4分）

（2）存在
∵BD為定值，
∴要使△BPD的周長最小，只需PD+PB最小
∵A與B關(guān)于直線x=

1

2

對(duì)稱，
∴PB=PA，只需PD+PA最小
∴連接AD，交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，此時(shí)PD+PA最小，（2分）
由A（-2，0），D（2，2）可得
直線AD：y=

1

2

x+1（1分）
令x=

1

2

，y=

5

4

∴存在點(diǎn)P(

1

2

，

5

4

)，使△BPD的周長最小（1分）

（3）存在．
（i）當(dāng)AD為平行四邊形AMDN的對(duì)角線時(shí)，MD∥AN，即MD∥x軸
∴y_M=y_D，
∴M與D關(guān)于直線x=

1

2

對(duì)稱，
∴M（-1，2）（1分）
（ii）當(dāng)AD為平行四邊形ADNM的邊時(shí)，
∵平行四邊形ADNM是中心對(duì)稱圖形，△AND≌△ANM
∴|y_M|=|y_D|，
即y_M=-y_D=-2，
∴令-

1

2

x2+

1

2

x+3=-2，即x²-x-10=0；
解得x1，2=

1± 41

2

，M(

1+ 41

2

，-2)或M(

1- 41

2

，-2)，（2分）
綜上所述：滿足條件的M點(diǎn)有三個(gè)M（-1，2），M(

1+ 41

2

，-2)或M(

1- 41

2

，-2）．（1分）