Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿著AE翻折矩形，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處若AB＝3，BC＝AB，解答下列問(wèn)題：

（1）在點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，求點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)；

（2）當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，試判斷FC與AE的位置關(guān)系，并說(shuō)明你的理由；

（3）當(dāng)點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)部且DF＝CD時(shí)，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）2π；（2）FC與AE的位置關(guān)系為：FC∥AE；（3）

【解析】

(1)根據(jù)翻折的性質(zhì)可得AF＝AB，∠BAE＝∠EAF，當(dāng)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)利用三角函數(shù)求出∠BAF的度數(shù)，最后再根據(jù)弧長(zhǎng)公式，求出點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng).（2）根據(jù)題意知道BE＝EF＝EC，再利用三角形內(nèi)角和∠BFE+∠CFE＝90°，最后根據(jù)翻折的性質(zhì)求出∠BHE＝90°，即可證出FC與AE的位置關(guān)系.(3) 過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AD于點(diǎn)M，延長(zhǎng)MF交BC于點(diǎn)N，根據(jù)題意求出AM的值，然后利用勾股定理求出MF，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到FN, 設(shè)BE＝x，則EN＝﹣x，利用勾股定理求出BE的長(zhǎng).

解：（1）由翻折的性質(zhì)得：AF＝AB，∠BAE＝∠EAF，

∴點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑是以A為圓心，AB為半徑，∠BAF為圓心角的弧長(zhǎng)，如圖1所示：

當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，tan∠BAE＝=

∴∠BAE＝60°，∠BAF＝120°，

∴點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為：＝2π；

（2）FC與AE的位置關(guān)系為：FC∥AE；理由如下：

連接BF交AE于點(diǎn)H，如圖2所示：

由折疊性質(zhì)得：BE＝EF，

∵BE＝CE，

∴BE＝EF＝EC，

∴∠FBE＝∠BFE，∠CFE＝∠FCE，

∵∠FBE+∠BFE+∠CFE+∠FCE＝180°，

∴∠BFE+∠CFE＝90°，即∠BFC＝90°，

由折疊的性質(zhì)得：BF⊥AE，

∴∠BHE＝90°，

∴FC∥AE；

（3）過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AD于點(diǎn)M，延長(zhǎng)MF交BC于點(diǎn)N，如圖3所示：

∵AB＝3，BC＝AB，

∴BC＝3，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝3，DF＝DC＝3，

∴AF＝DF，

∵M(jìn)F⊥AD，

∴AM＝AD＝

在Rt△MAF中，MF＝＝＝，

∵∠BAD＝∠B＝90°，MF⊥AD，

∴四邊形ABNM是矩形，

∴BN＝AM＝，MN＝AB＝3，

∴FN＝MN﹣MF＝3﹣＝，

設(shè)BE＝x，則EN＝﹣x，

由折疊的性質(zhì)得：FE＝BE＝x，

在Rt△EFN中，EF2﹣EN2＝FN2，

即：x2﹣（﹣x）2＝（）2，

解得：x＝，

∴BE的長(zhǎng)為．