Question

【題目】操作體驗(yàn)：如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)D恰好與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處.點(diǎn)P為直線EF上一動(dòng)點(diǎn)(不與E、F重合)，過(guò)點(diǎn)P分別作直線BE、BF的垂線，垂足分別為點(diǎn)M和N，以PM、PN為鄰邊構(gòu)造平行四邊形PMQN.

(1)如圖1，求證：BE＝BF；

(2)特例感知：如圖2，若DE＝5，CF＝2，當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求平行四邊形PMQN的周長(zhǎng)；

(3)類比探究：若DE＝a，CF＝b.

①如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段EF的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試用含a、b的式子表示QM與QN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

②如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在線段FE的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接用含a、b的式子表示QM與QN之間的數(shù)量關(guān)系.(不要求寫證明過(guò)程)

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)四邊形PMQN的周長(zhǎng)為2；(3)①QN﹣QM＝，證明見解析；②QM﹣QN＝.

【解析】

(1)根據(jù)矩形的對(duì)邊平行可得∠DEF＝∠EFB，根據(jù)翻折性質(zhì)可得∠DEF＝∠BEF，由此可得∠BEF＝∠EFB，即可求得結(jié)論；

(2)如圖2中，連接BP，作EH⊥BC于H，則四邊形ABHE是矩形，EH＝AB，先求出AB的長(zhǎng)，繼而利用面積法求出PM+PN＝EH＝，再根據(jù)平行形的周長(zhǎng)公式求解即可；

(3)①如圖3中，連接BP，作EH⊥BC于H，先求出EH＝AB＝，再根據(jù)面積法求得PM﹣PN＝EH＝，繼而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求得QN﹣QM＝(PM﹣PN)＝，

②如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在線段FE的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，同法可證：QM﹣QN＝PN﹣PM＝.

(1)如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠DEF＝∠EFB，

由翻折可知：∠DEF＝∠BEF，

∴∠BEF＝∠EFB，

∴BE＝BF；

(2)如圖2中，連接BP，作EH⊥BC于H，則四邊形ABHE是矩形，EH＝AB，

∵DE＝EB＝BF＝5，CF＝2，

∴AD＝BC＝7，AE＝2，

在Rt△ABE中，∵∠A＝90°，BE＝5，AE＝2，

∴AB＝，

∵S△BEF＝S△PBE+S△PBF，PM⊥BE，PN⊥BF，

∴BFEH＝BEPM+BFPN，

∵BE＝BF，

∴PM+PN＝EH＝，

PMQN是平行四邊形，

∴四邊形PMQN的周長(zhǎng)＝2(PM+PN)＝2；

(3)①如圖3中，連接BP，作EH⊥BC于H，

∵ED＝EB＝BF＝a，CF＝b，

∴AD＝BC＝a+b，

∴AE＝AD﹣DE＝b，

∴EH＝AB＝，

∵S△EBP﹣S△BFP＝S△EBF，

∴BEPM﹣BFPN＝BFEH，

∵BE＝BF，

∴PM﹣PN＝EH＝，

∵四邊形PMQN是平行四邊形，

∴QN﹣QM＝(PM﹣PN)＝，

②如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在線段FE的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，同法可證：QM﹣QN＝PN﹣PM＝.