Question

如圖，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一點，且AD⊥AB，點E是BD的中點，連接AE．
（1）求證：∠AEC=∠C；
（2）求證：BD=2AC；
（3）若AE=6.5，AD=5，那么△ABE的周長是多少？

Answer 1

（1）證明：∵AD⊥AB，
∴△ABD為直角三角形．
又∵點E是BD的中點，
∴AE=

1

2

BD．
又∵BE=

1

2

BD，
∴AE=BE，∴∠B=∠BAE．
又∵∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠AEC=∠B+∠B=2∠B．
又∵∠C=2∠B，
∴∠AEC=∠C．（4分）

（2）證明：由（1）可得AE=AC，
又∵AE=

1

2

BD，
∴

1

2

BD=AC，
∴BD=2AC．（4分）

（3）在Rt△ABD中，AD=5，BD=2AE=2×6.5=13
∴AB=

BD2-AD2

=

132-52

=12（1分）
∴△ABE的周長=AB+BE+AE=12+6.5+6.5=25．（1分）