Question

已知：如圖在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線BD的中點(diǎn)為O，過點(diǎn)O作直線EF分別交DA的延長線、AB、DC、BC的延長線于點(diǎn)E、M、N、F．
（1）證明：OE=OF；
（2）若連接BE，DF，判斷四邊形BFDE的形狀（簡述理由）；
（3）若將直線EF繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（EF不重合于BD），四邊形BFDE的形狀如何？若四邊形BFDE為矩形，則∠DOF與∠DBF滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系（直接給出結(jié)論即可）．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）證明△DOE≌△BOF，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可證得；
（2）根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可判斷；
（3）根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可判斷四邊形BFDE的形狀，根據(jù)矩形的性質(zhì)：對(duì)角線相等，求得OB=OF，根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠OBF=∠OFB，最后根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求得；

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC．
∴∠EDO=∠FBO，∠E=∠F．
在△DOE與△BOF中，

∠EDO=∠FBO ∠E=∠F OD=OB

，
∴△DOE≌△BOF（AAS）
∴OE=OF；

（2）四邊形BFDE為平行四邊形．
∵OD=OB，OE=OF
∴四邊形BFDE為平行四邊形．   

（3）將直線EF繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，四邊形BFDE仍為平行四邊形．
若四邊形BFDE為矩形，則∠DOF=2∠DBF．
理由：∵OD=OB，OE=OF，
∴四邊形BFDE為平行四邊形；
∵若四邊形BFDE為矩形，則EF=BD，
∴OB=OF，
∴∠OBF=∠OFB，
∵∠DOF=∠OBF+∠OFB，
∴∠DOF=2∠DBF；

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等，本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理，以及矩形的性質(zhì)定理；