Question

4．已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB=AC，點(diǎn)D在⊙O上，AD⊥AB于點(diǎn)A，AD與BC交于點(diǎn)E，F(xiàn)在DA的延長(zhǎng)線上，且AF=AE．
（1）求證：BF與⊙O相切；
（2）若BF=10，cos∠ABC=$\frac{12}{13}$，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）先證明△BEF是等腰三角形，再證明∠FBA+∠DBA=90°即可．
（2）在Rt△BDF中，cosD=$\frac{BD}{DF}=\frac{12}{13}$，設(shè)BD=12x，DF=13x，利用勾股定理列出方程即可解決問(wèn)題．

解答 證明：（1）連接BD，

∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°，
∴BD是直徑，BD過(guò)圓心，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠D=∠C，
∴∠ABC=∠D
又∵AD⊥AB，且AF=AE
∴△BEF是等腰三角形，
∴∠ABC=∠ABF，
∴∠D=∠ABF，
又∵∠BAD=90°，
∴∠ABD+∠D=180°-∠BAD=180°-90°=90°，
∴∠ABD+∠ABF=90°，
∴∠DBF=90°，
∴OB⊥BF，
又∵OB是⊙O的半徑，
∴BF是⊙OA切線；
（2）∵∠ABC=∠D，
∴cosD=cos∠ABC=$\frac{12}{13}$，
在Rt△BDF中，cosD=$\frac{BD}{DF}=\frac{12}{13}$，設(shè)BD=12x，DF=13x，
又∵BD²+BF²=DF²，
∴（12x）²+10²=（13x）²
∵x＞0，
∴x=2，
∴BD=12×2=24，
∴OB=$\frac{1}{2}$BD=12
∴⊙O半徑為12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓、切線的判定、勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用圓的有關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)證明切線方法，屬于中考�？碱}型．