Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點，并與x軸交于另一點C（點C點A的右側(cè)），點P是第二象限的拋物線上一動點．

（1）求拋物線的解析式及點C的坐標；

（2）當點P運動到什么位置時，△PAB的面積最大？最大面積是多少？

（3）當（2）中點P運動到△PAB的面積最大時，x軸上是否存在點D，使△PDB的周長最小，若存在，求出點D的坐標，若不存在。請說明理由。

Answer 1

（1）拋物線解析式為y=-x2-3x+4．C（1，0）．（2）P（-2，6），8；（3）點D的坐標為（-，0）．

【解析】

試題分析：（1）把A（-4，0），B（0，4）代入拋物線y=-x2+bx+c，可得出拋物線解析式，當y=0時即可得出點C的坐標．

（2）設y=x+b與拋物線y=-x2-3x+4只有一個交點時，△PAB的面積最大，利用判別式求出b的值，再聯(lián)立可得出點P的坐標，過點B作BM⊥PN交PN于點M，利用三角函數(shù)求出BM，再利用△PAB的面積公式即可求出答案．

（3）連接BP，作點B關(guān)于原點O的對稱點B′，連接B′P，交x軸于點D，這時△PDB的周長最�。�先求出點B′的坐標，再利用坐標求出PB′所在的直線，即可求出與x軸的交點D的坐標．

試題解析：（1）∵直線y=x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，

∴A（-4，0），B（0，4）拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點，可得

，

解得，

∴拋物線解析式為y=-x2-3x+4．

令y=0，得-x2-3x+4=0，

解得x1=-4，x2=1，

∴C（1，0）．

（2）如圖1，

設y=x+b與拋物線y=-x2-3x+4只有一個交點時，△PAB的面積最大，

∵由x+b=-x2-3x+4化簡x2+4x+b-4只有一個解，得△=16-4×（b-4）=32-4b=0，解得b=8．

∴y=x+8，

∴聯(lián)立得方程組得，

解得，

∴P（-2，6）

過點B作BM⊥PN交PN于點M，

∵BN=ON-OB=8-4=4，sin∠MNB=，

∴BM=4×=2，

△PAB的面積=ABBM=×4×2=8．

（3）存在．

如圖2，

連接BP，作點B關(guān)于原點O的對稱點B′，連接B′P，交x軸于點D，這時△PDB的周長最�。�

∵點B（0，4），

∴點B′（0，-4），

∵P（-2，6）

∴設PB′所在的直線為y=kx+b得

，

解得

∴PB′所在的直線為y=-5x-4，

點D的坐標為（-，0）．

考點：二次函數(shù)綜合題．