Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x-3與坐標(biāo)軸分別相交于點B、C，拋物線l₁：y=x²沿O→B→C方向進(jìn)行平移，分別得到拋物線l₂（頂點為B）、拋物線l₃（頂點為D）．

（1）求直線BC與拋物線l₂的另一交點M的坐標(biāo)；
（2）如圖1，當(dāng)拋物線l₃與AB的另一交點為N，恰好為線段BD的中點時，求拋物線l₃的解析式；
（3）將拋物線l₃平移后恰好經(jīng)過點B、C，得到拋物線l₄（如圖2），設(shè)P是y軸左側(cè)拋物線l₄上的一個動點，過點P作y軸的平行線，交直線BC于點Q．在點P的運動過程中，△BPQ能否為等腰三角形？若能，求出Q點坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：計算題,壓軸題,動點型,數(shù)形結(jié)合,分類討論

分析：（1）拋物線l₂是拋物線l₁平移所得，那么它們的二次項系數(shù)是相同的，而點B、C的坐標(biāo)可由直線y=x-3求得，可據(jù)此直接寫出拋物線l₂的頂點式解析式，聯(lián)立直線BC的解析式即可求出交點M的坐標(biāo)．
（2）首先由直線BC的解析式設(shè)出點D的坐標(biāo)，而點N是線段BD的中點，由點B、N的坐標(biāo)可直接寫出點N的坐標(biāo)，先由點D的坐標(biāo)寫出拋物線l₃的解析式，再將點N的坐標(biāo)代入該解析式中，據(jù)此思路來解即可．
（3）此題需要分三種情況討論：
①BP=BQ．此時點P、Q關(guān)于x軸對稱，即它們的縱坐標(biāo)的和正好是0，根據(jù)這個等量關(guān)系列式求解即可；
②BP=PQ．由點B、C的坐標(biāo)易知∠OCB=∠OBC=45°，而PQ∥y軸，那么∠PQB=45°，若BP=PQ，那么∠PBQ=∠PQB=45°，即∠QP⊥BP，此時點P正好在x軸上（點P、A重合）；
③PQ=BQ．設(shè)直線PQ與x軸的交點為E，先設(shè)出點E的坐標(biāo)，在等腰Rt△BQE中，由點E的橫坐標(biāo)表示出線段BE、BQ的長，而P、Q與點E的橫坐標(biāo)相同，由拋物線l₄、直線BC的解析式可得到點P、Q的縱坐標(biāo)表達(dá)式，進(jìn)而能求出PQ的長，由BQ=PQ列式求解，即可確定點Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由直線y=x-3知，點B（3，0）、C（0，-3）；
則拋物線l₂：y=（x-3）²，聯(lián)立直線BC的解析式，有：

y=(x-3)2 y=x-3

，解得

x1=3 y1=0

，

x2=4 y2=1

∴點M（4，1）．

（2）設(shè)點D（m，m-3），則點N（

m+3

2

，

m-3

2

）；
∴拋物線l₃：y=（x-m）²+m-3，代入點N的坐標(biāo)，得：
（

m+3

2

-m）²+m-3=

m-3

2

解得：m₁=3（舍）、m₂=1；
∴拋物線l₃：y=（x-1）²-2=x²-2x-1．

（3）設(shè)拋物線l₄：y=（x-a）²+b，代入（3，0）、（0，-3），得：

(3-a)2+b=0 (0-a)2+b=-3

，解得

a=1 b=-4

∴拋物線l₄：y=（x-1）²-4=x²-2x-3．
設(shè)PQ與x軸的交點為點E（x，0），則 P（x，x²-2x-3）、Q（x，x-3），PQ=（x²-2x-3）-（x-3）=x²-3x；
由OB=OC=3，知∠OBC=∠OCB=45°，在Rt△BEQ中，BE=3-x，BQ=

2

（3-x）．
若△BPQ為等腰三角形，分三種情況討論：
①BP=BQ；此時P、Q關(guān)于x軸對稱，則有：
x²-2x-3+x-3=0，解得 x₁=-2、x₂=3（舍）
∴Q₁（-2，-5）；
②BP=PQ；此時∠PBQ=∠PQB；
∵PQ∥y軸，∴∠PQB=∠OCB=45°；
∴∠PBQ=∠PQB=45°，∠QPB=90°，即點P在x軸上，此時點P、A重合；
∴P（-1，0）、Q₂（-1，-4）；
③BQ=PQ；此時有：

2

（3-x）=x²-3x，解得：x₁=3（舍）、x₂=-

2

∴Q₃（-

2

，-

2

-3）；
綜上，存在符合條件的點Q，坐標(biāo)為（-2，-5）、（-1，-4）或（-

2

，-

2

-3）．

點評：此題主要考查的是函數(shù)解析式的確定、拋物線圖象的平移以及等腰三角形的判定和性質(zhì)等重點知識；此題中，無論拋物線怎么平移，只要抓住兩點即可：①二次項系數(shù)（圖象上的反應(yīng)是拋物線的開口方向和開口大�。�，②頂點坐標(biāo)；（3）題中，在等腰三角形的腰和底不確定的情況下，一定要分類進(jìn)行討論，以免出現(xiàn)漏解的情況．