Question

已知：關(guān)于x的一元二次方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0（k是正整數(shù)）．
（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）求方程的較大根．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,解一元二次方程-因式分解法

專題：

分析：（1）根據(jù)一元二次方程的定義得k≠0，再計(jì)算判別式得到△=（2k-1）²，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即k的取值得到△＞0，則可根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論；
（2）根據(jù)求根公式求出方程的根，再根據(jù)k是正整數(shù)即可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：k≠0，
△=[-（4k+1）]²-4k（3k+3）
=4k²-4k+1
=（2k-1）²，
∵k為不等于0的整數(shù)，
∴（2k-1）²＞0，
∴△＞0，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

（2）∵△=[-（4k+1）]²-4k（3k+3）=（2k-1）²，
∴x=

(4k+1)± (2k-1)2

2k

=

4k+1±(2k-1)

2k

，
∴x=3或x=1+

1

k

，
∵k是正整數(shù)，
∴

1

k

≤1，
∴1+

1

k

＜3，
∴方程的較大根是3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義．