Question

【題目】已知，四邊形ABCD是正方形，∠MAN=45°，它的兩邊AM、AN分別交CB、DC與點(diǎn)M、N，連結(jié)MN，作AH⊥MN，垂足為點(diǎn)H

（1）如圖1，猜想AH與AB有什么數(shù)量關(guān)系？并證明；

（2）如圖2，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，且BD=2，CD=3，求AD的長；

小萍同學(xué)通過觀察圖①發(fā)現(xiàn)，△ABM和△AHM關(guān)于AM對(duì)稱，△AHN和△ADN關(guān)于AN對(duì)稱，于是她巧妙運(yùn)用這個(gè)發(fā)現(xiàn)，將圖形如圖③進(jìn)行翻折變換，解答了此題．你能根據(jù)小萍同學(xué)的思路解決這個(gè)問題嗎？

Answer 1

【答案】（1）AB=AH，理由見解析；（2）6

【解析】（1）延長CB至E使BE=DN，連接AE，由三角形全等可以證明AB=AH；
（2）作△ABD關(guān)于直線AB的對(duì)稱△ABE，作△ACD關(guān)于直線AC的對(duì)稱△ACF，延長EB、FC交于點(diǎn)G，則四邊形AEGF是矩形，又，所以四邊形AEGF是正方形，設(shè)AD=x，則EG=AE=AD=FG=x，則BG=x2；CG=x3；BC=2+3=5，在Rt△BGC中，解之得 所以AD的長為6．

(1)答：AB=AH，

證明：延長CB至E使BE=DN，連接AE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴

∴

又∵AB=AD，

∵在△ABE和△ADN中，

，

∴△ABE≌△ADN（SAS），

∴∠1=∠2，AE=AN，

∵

∴

∴，

即

∵在△EAM和△NAM中，

，

∴△EAM≌△NAM（SAS），

又∵EM和NM是對(duì)應(yīng)邊，

∴AB=AH(全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等)；

(2)作△ABD關(guān)于直線AB的對(duì)稱△ABE，作△ACD關(guān)于直線AC的對(duì)稱△ACF，

∵AD是△ABC的高，

∴

∴

又∵

∴，

延長EB、FC交于點(diǎn)G，則四邊形AEGF是矩形，

又∵AE=AD=AF

∴四邊形AEGF是正方形，

由(1)、(2)知：EB=DB=2，FC=DC=3，

設(shè)AD=x，則EG=AE=AD=FG=x，

∴BG=x2；CG=x3；BC=2+3=5，

在Rt△BGC中,

解得

故AD的長為6.