【題目】已知拋物線yax2bx3經(jīng)過點A 1,0)和點B (-3,0),與y軸交于點C,點P為第二象限內(nèi)拋物線上的動點.

1)拋物線的解析式為__________,拋物線的項點坐標(biāo)為__________;

2)如圖1,是否存在點P,使四邊形BOCP的面積為8?若存在,請求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

3)如圖2,連接OPBC于點D,當(dāng)SCPDSBPD12時,請求出點D的坐標(biāo);

4)如圖3,點E的坐標(biāo)為(0,-1),點Gx軸負(fù)半軸上的一點,∠OGE15°,連接PE,若∠PEG2OGE,請求出點P的坐標(biāo).

【答案】1yx22x3;(14)(2)不存在,理由見解析(3D1,2)(4P

【解析】

1)設(shè)函數(shù)的表達式為:yax1)(x3)=ax22x3),即可求解;

2)利用S四邊形BOCPSOBCSPBC8,即可求解;

3SCPDSBPD12,則BDBC×32,即可求解;

4)∠OGE15°,∠PEG2OGE30°,則∠OHE45°,故OHOE1,即可求解.

1)函數(shù)的表達式為:yax1)(x3)=ax22x3=ax2bx3

即:3a3,解得:a1,

故拋物線的表達式為:yx22x3=x+124,

∴頂點坐標(biāo)為(1,4

故答案為yx22x3;(1,4);

2)不存在,理由:

如圖1,連接BC,過點Py軸的平行線交BC于點H,

令二次函數(shù)x=0,解得y=3

C0,3

設(shè)直線BC的解析式為:ykxb

C0,3),B -3,0)代入得

解得

∴直線BC的表達式為:yx3,

設(shè)點Px,x22x3),點Hx,x3),

S四邊形BOCPSOBCSPBC×3×3x22x3x3)×38

整理得:3x29x70,

解得:△<0,故方程無解,

則不存在滿足條件的點P

3)∵OBOC,

∴∠CBO45°,

BC=

SCPDSBPD12,

BDBC×32

yDBDsinCBO=2×2,代入直線BC2x3

解得x=-1

D12);

4)如圖2,設(shè)直線PEx軸于點H,

∵∠OGE15°,∠PEG2OGE30°,

∴∠OHE45°,

OHOE1,

H-1,0),

設(shè)直線HE的表達式為:ypx+q

H-1,0),E0,-1)代入得

解得

∴直線HE的表達式為:yx1

聯(lián)立

解得:x(舍去正值),

故點P).

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