Question

【題目】如圖，在矩形中，點是對角線上一動點，連接，作分別交于點，于點 ．

(1)如圖1，若恰好平分，求證：；

(2)如圖2，若，取的中點，連接交于點 ．

求證：①；②．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②見解析

【解析】

（1）利用∠ECG＝∠BCG，∠CGE＝∠CGB，CG＝CG即可得證；

（2）①過H作HM∥BE交AC于點M，則CM：ME＝CH：HB，由點H為BC的中點，可轉(zhuǎn)化得到EM＝CM，再利用HM∥BE及即可證得；

②延長BE交AD于點N，由△APN∽△HPB可得，通過證明△ABN∽△BCF可得進而可轉(zhuǎn)化為．

證明：（1）∵CF平分∠BCA

∴∠ECG＝∠BCG，

∵CF⊥BE，

∴∠CGE＝∠CGB＝90°，

在Rt△CGE和Rt△CGB中，

，

∴△CGE≌△CGB（ASA）；

（2）①如圖，過H作HM∥BE交AC于點M，

則CM：ME＝CH：HB，

∵點H為BC的中點，

∴CH＝BH，

∴EM＝CM，

∵，

∴，

∴，

∵HM∥BE，

∴，

∴；

②如圖，延長BE交AD于點N，

∵在矩形ABCD中，AD∥BC，

∴△APN∽△HPB，

∴，

∴，

∵CF⊥BE，

∴，

∵，

∴∠BCF＝∠ABN，

∵∠FBC＝∠NAB，

∴△ABN∽△BCF，

∴，

∴，

∵點H為BC的中點，

∴，

∴，

∴．