Question

【題目】我們知道，若線段上的個點(diǎn)把這條線段分制為兩部分，其中較長的一部分與全長之比等于時，則這個點(diǎn)稱為黃金分割點(diǎn)。類比三角形中線的定義，我們規(guī)定:連接三角形的一個頂點(diǎn)和它對邊的黃金分割點(diǎn)的線段叫做該三角形的黃金分割線.

(1)如圖1，CD是△ABC的黃金分割線(AD> BD)，△ABC的面積為4,求△ACD的面積 ；

(2)如圖2,在△ABC中,∠A= 36°，AB=AC=1，過點(diǎn)B作BD平分∠ABC，與AC相交于點(diǎn)D，求證: BD是△ABC的黃金分割線.

(3)如圖3，BE、CD是△ABC的黃金分割線(AD> BD，AE> CE)，BE、CD相交于點(diǎn)O.

①設(shè)△BOD與△COE的面積分別為S1、S2 ,請猜想S1、S2之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由；

②求的值.

Answer 1

【答案】（1）2-2；（2）見解析；（3）①S1=S2；②.

【解析】

（1）設(shè)△ABC中AB邊上的高為h，根據(jù)AD=AB，得出S△ACD=×ABh，從而可求出△ACD的面積；

（2）根據(jù)題意得出AD=BD=BC，求得△BCD∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得CD：BC=BC：AC，求得BC即可得解；

（3）①連接ED，根據(jù)題意得出S△ABE=S△ACD，即可得解；②求得△ADE∽△ABC，進(jìn)一步求得△ODE∽△OCB，然后根據(jù)OD：OC=DE：BC=求解即可.

（1）根據(jù)題意可知：AD：AB=，設(shè)△ABC中AB邊上的高為h，

則AD=AB，

∴S△ACD=ADh=×ABh=×4=2-2;

（2）∵∠A=36°，AB=AC，

∴∠ABC=∠C=72°，

∵過點(diǎn)B作BD平分∠ABC，與AC相交于點(diǎn)D，

∴∠CBD=∠A=36°，∠BDC=∠C=72°，

∴AD=BD=BC，

∴△BCD∽△ABC，

∴CD：BC=BC：AC，即，

解得BC=，

∴AD=，即D點(diǎn)是AC的黃金分割點(diǎn)，

∴BD是△ABC的黃金線；

（3）①S1=S2，理由如下：

如圖，連接ED，

根據(jù)題意可得AD:AB=AE:AC=，

∴S△ABE:S△ABC=S△ACD:S△ABC=，

∴S△ABE=S△ACD，

∴S△COE=S△BOD，即S1=S2；

②由①得AD:AB=AE:AC，

又∵∠A是公共角，

∴△ADE∽△ABC，

∴∠DEA=∠BCA，DE:BC=AE:AC=，

∴DE∥BC，

∴△ODE∽△OCB，

∴OD:OC=DE:BC=，

∴OD:CD==.