Question

8．已知：△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC．
（1）如圖①，AD⊥BC于D，若∠C=70°，∠B=40°求∠DAE的度數(shù)；
（2）若△ABC中，∠B=α，∠C=β．（α＜β）．請(qǐng)根據(jù)第一問的結(jié)果，大膽猜想∠DAE與α、β的等量關(guān)系（不必說理）；
（3）如圖②所示，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，F(xiàn)為AE延長(zhǎng)線上任一點(diǎn)，過F點(diǎn)作FG⊥BC于G，∠B=40°，∠C=80°．請(qǐng)你運(yùn)用②中的結(jié)論，求∠EFG的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BAC=180°-∠B-∠C，再利用角平分線定義得∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=90°-$\frac{1}{2}$（∠B+∠C），接著根據(jù)垂直定義得到∠AEC=90°，則∠EAC=90°-∠C，所以∠DAE=∠DAC-∠EAC=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B），再把∠C=70°，∠B=40°代入計(jì)算即可；
（2）由（1）易得∠DAE=$\frac{1}{2}$（β-α）；
（3）由于∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B），則把∠B=40°，∠C=70°代入可計(jì)算出∠DAE=20°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求解．

解答 （1）∵∠C=70°，∠B=40°，
∴∠BAC=180°-（∠B+∠C）=180°-40°-70°=70°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×70°=35°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=70°，
∴∠DAC=180°-90°-70°=20°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=35°-20°=15°；

（2）∠DAE=$\frac{1}{2}$β-$\frac{1}{2}$α，
理由是：∵∠C=β，∠B=α，
∴∠BAC=180°-（∠B+∠C）=180°-α-β，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×（180°-α-β）=90°-$\frac{1}{2}$α-$\frac{1}{2}$β，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=β，
∴∠DAC=180°-90°-β=90°-β，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=90°-$\frac{1}{2}$α-$\frac{1}{2}$β-（90°-β）=$\frac{1}{2}$β-$\frac{1}{2}$α；

（3）∵∠B=40°，∠C=80°，
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$×80°-$\frac{1}{2}$×40°=20°，
∵AD⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，
∴∠ADE=∠FGE=90°，
∴AD∥FG，
∴∠EFG=∠DAE=20°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．準(zhǔn)確識(shí)別圖形，即在哪個(gè)三角形中運(yùn)用內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．