【題目】如圖,ABC,AB=AC,∠BAC=90°,點(diǎn)PBC上的一動(dòng)點(diǎn),AP=AQ,∠PAQ=90°,連接CQ

(1)求證:CQBC

(2)△ACQ能否是直角三角形若能,請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)P的位置;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)當(dāng)點(diǎn)PBC上什么位置時(shí),△ACQ是等腰三角形?請(qǐng)說(shuō)明理由

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)點(diǎn)PBC的中點(diǎn)或與點(diǎn)C重合時(shí),ACQ是直角三角形;(3)當(dāng)點(diǎn)PBC的中點(diǎn)或與點(diǎn)C重合或BP=AB時(shí),ACQ是等腰三角形.

【解析】

(1)根據(jù)同角的余角相等求出∠BAP=∠CAQ,然后利用“邊角邊”證明△ABP和△ACQ全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACQ=∠B,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠B=∠ACB=45°,然后求出∠BCQ=90°,然后根據(jù)垂直的定義證明即可;
(2)分∠APB和∠BAP是直角兩種情況求出點(diǎn)P的位置,再根據(jù)△ABP和△ACQ全等解答;
(3)分BP=AB,AB=AP,AP=BP三種情況討論求出點(diǎn)P的位置,再根據(jù)△ABP和△ACQ全等解答.

解:(1)∵∠BAP+∠CAP=∠BAC=90°,∠CAQ+∠CAP=∠PAQ=90°,

∴∠BAP=∠CAQ,

△ABP△ACQ,

,

∴△ABP≌△ACQ(SAS),

∴∠ACQ=∠B,

∵AB=AC,∠BAC=90°,

∴∠B=∠ACB=45°,

∴∠BCQ=∠ACB+∠ACQ=45°+45°=90°,

∴CQ⊥BC;

(2)當(dāng)點(diǎn)PBC的中點(diǎn)或與點(diǎn)C重合時(shí),△ACQ是直角三角形;

(3)①當(dāng)BP=AB時(shí),△ABP是等腰三角形;

當(dāng)AB=AP時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)C重合;

當(dāng)AP=BP時(shí),點(diǎn)PBC的中點(diǎn);

∵△ABP≌△ACQ,

當(dāng)點(diǎn)PBC的中點(diǎn)或與點(diǎn)C重合或BP=AB時(shí),△ACQ是等腰三角形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知,點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等,且OB=OC.

(1)如圖1,若點(diǎn)OBC上,求證:△ABC是等腰三角形.

(2)如圖2,若點(diǎn)O在△ABC內(nèi)部,求證:AB=AC.

(3)若點(diǎn)O點(diǎn)在△ABC的外部,△ABC是等腰三角形還成立嗎?請(qǐng)畫圖表示.

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【題目】如圖,在△ABP中,C是BP邊上一點(diǎn),∠PAC=∠PBA,⊙O是△ABC的外接圓,AD是⊙O的直徑,且交BP于點(diǎn)E.
(1)求證:PA是⊙O的切線;
(2)過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD,垂足為點(diǎn)F,延長(zhǎng)CF交AB于點(diǎn)C,若ACAB=12,求AC的長(zhǎng).

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy,已知定點(diǎn)A(1,0)B(0,1).

(1)如圖1,若動(dòng)點(diǎn)Cx軸上運(yùn)動(dòng),則使ABC為等腰三角形的點(diǎn)C有幾個(gè)?

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)A,B向過(guò)原點(diǎn)的直線l作垂線垂足分別為M、N,試判斷線段AM、BN、MN之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣x2+2bx+c與x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)),且與y軸正半軸交于點(diǎn)C,已知A(2,0)
(1)當(dāng)B(﹣4,0)時(shí),求拋物線的解析式;
(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線的頂點(diǎn)為P,當(dāng)tan∠OAP=3時(shí),求此拋物線的解析式;
(3)O為坐標(biāo)原點(diǎn),以A為圓心OA長(zhǎng)為半徑畫⊙A,以C為圓心, OC長(zhǎng)為半徑畫圓⊙C,當(dāng)⊙A與⊙C外切時(shí),求此拋物線的解析式.

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【題目】把一張矩形紙片ABC的按如圖方式折疊,使頂點(diǎn)B落在邊AD上(記為點(diǎn)B′),點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處,折痕分別與邊AD、BC交于點(diǎn)E、F.
(1)試在圖中連接BE,求證:四邊形BFB′E是菱形;
(2)若AB=8,BC=16,求線段BF長(zhǎng)能取到的整數(shù).

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【題目】如圖,已知正方形ABCD,點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上,聯(lián)結(jié)AE、DE,DE與邊AB交于點(diǎn)F,F(xiàn)G∥BE且與AE交于點(diǎn)G.
(1)求證:GF=BF.
(2)在BC邊上取點(diǎn)M,使得BM=BE,聯(lián)結(jié)AM交DE于點(diǎn)O.求證:FOED=ODEF.

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【題目】操作:“如圖1,P是平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)(x軸上的點(diǎn)除外),過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C,點(diǎn)C繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)Q.”我們將此由點(diǎn)P得到點(diǎn)Q的操作稱為點(diǎn)的T變換.

(1)點(diǎn)P(a,b)經(jīng)過(guò)T變換后得到的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 ;若點(diǎn)M經(jīng)過(guò)T變換后得到點(diǎn)N(6,﹣ ),則點(diǎn)M的坐標(biāo)為
(2)A是函數(shù)y= x圖象上異于原點(diǎn)O的任意一點(diǎn),經(jīng)過(guò)T變換后得到點(diǎn)B.
①求經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,點(diǎn)B的直線的函數(shù)表達(dá)式;
②如圖2,直線AB交y軸于點(diǎn)D,求△OAB的面積與△OAD的面積之比.

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