【題目】已知,點O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等,且OB=OC.

(1)如圖1,若點OBC上,求證:△ABC是等腰三角形.

(2)如圖2,若點O在△ABC內(nèi)部,求證:AB=AC.

(3)若點O點在△ABC的外部,△ABC是等腰三角形還成立嗎?請畫圖表示.

【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)若O點在△ABC的外部,AB=AC不一定成立;圖形見解析.

【解析】

(1)首先過點OOD⊥ABD,作OE⊥ACE,易證得Rt△BOD≌Rt△COE,即可得∠B=∠C,根據(jù)等角對等邊的性質(zhì),即可得證;

(2)首先過點OOD⊥ABD,作OE⊥ACE,易證得Rt△BOD≌Rt△COE,然后又由OB=OC,根據(jù)等邊對等角的性質(zhì),易證得∠ABC=∠ACB,根據(jù)等角對等邊的性質(zhì),AB=AC;

(3)首先過點OOD⊥ABD,作OE⊥AC的延長線于點E,易證得Rt△BOD≌Rt△COE,然后又由OB=OC,根據(jù)等邊對等角的性質(zhì),易證得∠ABC=∠ACB,根據(jù)等角對等邊的性質(zhì),AB=AC.

(1)證明:如圖1,

OOEABE,OFACF,

則∠OEB=OFC=90°,

∵點O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等,

OE=OF,

RtOEBRtOFC中,

RtOEBRtOFC(HL),

∴∠ABC=ACB,

AB=AC;

(2)證明:如圖2,過OOEABE,OFACF,

則∠OEB=OFC=90°,

∵點O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等,

OE=OF,

RtOEBRtOFC中,

,

RtOEBRtOFC(HL),

∴∠ABO=ACO,

∵∠OBC=OCB,

∴∠ABC=ACB,

AB=AC;

(3)解:若O點在△ABC的外部,AB=AC不一定成立,

理由是:①當(dāng)∠A的平分線和BC的垂直平分線重合時,如圖3,

OOEABAB的延長線于E,OFACAC的延長線于F,

則∠OEB=OFC=90°,

∵點O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等,

OE=OF,

RtOEBRtOFC

RtOEBRtOFC(HL),

∴∠EBO=FCO,

OB=OC,

∴∠OBC=OCB,

∵∠ABC=180°﹣(OBC+EBO),ACB=180°﹣(OCB+FCO),

∴∠ABC=ACB,

AB=AC;

②當(dāng)∠A的平分線和BC的垂直平分線不重合時,如圖④,

此時∠ABC和∠ACB不相等,

AB≠AC,

∴△ABC是等腰三角形不一定成立.

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