Question

【題目】如圖，已知，是的中點，過點作.求證：與相切.

Answer 1

【答案】詳見解析.

【解析】

證法一：連接，，，，連接交于點，利用線段垂直平分線的性質(zhì)和垂徑定理的推論證明垂直平分，然后利用垂徑定理和平行線的性質(zhì)求得，從而使問題得證；證法二：連接，，連接交于點，利用垂徑定理的推論得到，，然后利用平行線的性質(zhì)求得，從而使問題得證；證法三：過點作于點，延長交于點，利用垂徑定理的推論得到是的中點，然后判斷點與點是同一個點，然后然后利用平行線的性質(zhì)求得，從而使問題得證.

證明：證法一：連接，，，，連接交于點.

∵，∴點在的垂直平分線上.

∵是的中點，∴，∴，

∴點在的垂直平分線上，

∴垂直平分，∴，

∵，∴，∴，

∵點為半徑的外端點，

∴與相切.

證法二：連接，，連接交于點.

∵是的中點，∴，

∴，∴，∴，

∵，∴，∴，

∵點為半徑的外端點，

∴與相切.

證法三：過點作于點，延長交于點，

∴，，∴是的中點，

∵點是的中點，∴點與點是同一個點.

∵，∴，∴，

∵點為半徑的外端點，

∴與相切.