Question

【題目】如圖，△ABC與△DEC均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，連接BE，將BE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得BF，連接AD，BD，AF

（1）如圖①，D、E分別在AC，BC邊上，求證：四邊形ADBF為平行四邊形；

（2）△DEC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其它條件不變，如圖②，（1）的結(jié)論是否成立？說(shuō)明理由．

（3）在圖①中，將△DEC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，其它條件不變，問(wèn)：旋轉(zhuǎn)角為多少度時(shí)．四邊形ADBF為菱形？直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）旋轉(zhuǎn)角為135°或315°時(shí)，四邊形ADBF為菱形，理由見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)△ABC與△DEC均為等腰直角三角形，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出AD=BE，AD∥BF，進(jìn)而得到四邊形為平行四邊形；
（2）先延長(zhǎng)BE交AD于G，交AC于O，根據(jù)△ABC與△DEC均為等腰直角三角形，判定△ACD≌△BCE（SAS），得出AD=BE，∠CAD=∠CBE，再根據(jù)“8字形”得出∠AGE=90°，判定AD∥BF，即可得出四邊形為平行四邊形；
（3）分兩種情況討論：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角時(shí)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，分別判定△ACD≌△BCD，得到 再根據(jù)四邊形為平行四邊形，得出四邊形為菱形．

試題解析：（1）如圖1，∵△ABC與△DEC均為等腰直角三角形，

∴AC-DC=BC-EC，
∴AD=BE，
∵將BE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得BF，
∴BE=BF，
∴AD=BF，
又∵∠ACB=90°，∠CBF=90°，
∴∠C+∠CBF=180°，
∴AD∥BF，
∴四邊形ADBF為平行四邊形；
（2）如圖2，（1）中的結(jié)論仍成立．
理由：延長(zhǎng)BE交AD于G，交AC于O，
∵△ABC與△DEC均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴DC=EC，AC=BC，∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，
又∵BE=BF，∠ACB=90°，∠AOG=∠BOC，
∴AD=BF，∠AGE=90°，
∠AGB+∠EBF=180°，
∴AD∥BF，
∴四邊形ADBF為平行四邊形；

（3）旋轉(zhuǎn)角為135°或315°時(shí)，四邊形ADBF為菱形．
理由：如圖所示，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角∠BCE=135°時(shí)，∠ACE=45°，此時(shí)∠BCD=135°，
∴∠ACD=∠BCD，
又∵AC=BC，
∴△ACD≌△BCD（SAS），
∴AD=BD，
又∵四邊形ADBF為平行四邊形，
∴四邊形ADBF為菱形；
如圖所示，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為315°時(shí)，∠BCE=45°，此時(shí)∠BCD=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCD，
又∵AC=BC，
∴△ACD≌△BCD（SAS），
∴AD=BD，
又∵四邊形ADBF為平行四邊形，
∴四邊形ADBF為菱形．