Question

【題目】（題文）直角三角形有一個(gè)非常重要的性質(zhì)質(zhì):直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,比如:如圖1,Rt△ABC中,∠C=90°,D為斜邊AB中點(diǎn),則CD=AD=BD=-AB.請(qǐng)你利用該定理和以前學(xué)過(guò)的知識(shí)解決下列問(wèn)題:

在△ABC中,直線繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn).

(1)如圖2,若點(diǎn)P為BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)B、P在直線的異側(cè),BM⊥直線于點(diǎn)M,CN⊥直線于點(diǎn)N,連接PM、PN.求證:PM=PN；

(2)如圖3,若點(diǎn)B、P在直線的同側(cè),其它條件不變,此時(shí)PM=PN還成立嗎?若成立,請(qǐng)給予證明；若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)如圖4,∠BAC=90°,直線旋轉(zhuǎn)到與BC垂直的位置,E為AB上一點(diǎn)且AE=AC，EN⊥于N,連接EC,取EC中點(diǎn)P,連接PM、PN,求證:PM⊥PN.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）PM=PN（3）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）如圖2中，延長(zhǎng)NP交BM的延長(zhǎng)線于G．只要證明△PNC≌△PGB，推出PN=PG，再根據(jù)直角三角形斜邊中線定理即可證明．
（2）結(jié)論：PM=PN．延長(zhǎng)NP交BM于G，證明方法類似（1）．
（3）如圖4中，延長(zhǎng)NP交BM于G．先證明△EAN≌△CAM，推出EN=AM，AN=CM，再證明△ENP≌△CGP，推出EN=CG=AM，PN=PG，因?yàn)?/span>AN=CM，所以MG=MN，即可證明PM⊥PN．

（1）證明：如圖2中，延長(zhǎng)NP交BM的延長(zhǎng)線于G．

∵BM⊥AM，CN⊥AM，

∴BG∥CN，

∴∠PCN=∠PBG，

在△PNC和△PGB中， ，

∴△PNC≌△PGB，

∴PN=PG，

∵∠NMG=90°，

∴PM=PN=PG．

（2）解：結(jié)論：PM=PN．

如圖3中，延長(zhǎng)NP交BM于G．

∵BM⊥AM，CN⊥AM，

∴BM∥CN，

∴∠PCN=∠PBG，

在△PNC和△PGB中， ，

∴△PNC≌△PGB，

∴PN=PG，

∵∠NMG=90°，

∴PM=PN=PG．

（3）如圖4中，延長(zhǎng)NP交BM于G．

∵∠EAN+∠CAM=90°，∠CAM+∠ACM=90°，

∴∠EAN=∠ACM，

在△EAN和△CAM中，

∴△EAN≌△CAM，

∴EN=AM，AN=CM，

∵EN∥CG，

∴∠ENP=∠CGP，

在△ENP和△CGP中，

，

∴△ENP≌△CGP，

∴EN=CG=AM，PN=PG，

∵AN=CM，

∴MG=MN，

∴PM⊥PN．