Question

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（2，0），P是函數(shù)y=x（x＞0）圖象上一點，PQ⊥AP交y軸于點Q．設(shè)點P的橫坐標(biāo)為a，點Q的縱坐標(biāo)為b，若OP＜10$\sqrt{2}$，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 先過P作x軸、y軸的垂線，構(gòu)造正方形以及全等三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)得到OQ+TQ=OT=OH，進而得出關(guān)系式a=$\frac{1}{2}$b+1，再根據(jù)a的取值范圍，求得b的取值范圍．

解答 解：過P作x軸、y軸的垂線，垂足分別為H、T，
∵點P在函數(shù)y=x（x＞0）的圖象上，
∴PH=PT，且PH⊥PT，
∵AP⊥PQ，
∴∠APH=∠QPT，
又∵∠PHA=∠PTQ，
∴△PHA≌△PTQ（ASA），
∴AH=TQ，
∵A（2，0），點P的橫坐標(biāo)為a，
∴AH=2-a=TQ，
∵OQ+TQ=OT=OH，點Q的縱坐標(biāo)為b，
∴b+（2-a）=a，
∴a=$\frac{1}{2}$b+1，
又∵0＜OP＜10$\sqrt{2}$，且Rt△OHP中，OP=$\sqrt{2}$a，
∴0＜$\sqrt{2}$a＜10$\sqrt{2}$，
解得0＜a＜10，
即0＜$\frac{1}{2}$b+1＜10，
解得-2＜b＜18．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．