【題目】如圖,矩形 ABCD 中,對(duì)角線 AC 的垂直平分線交 AD 、BC 于點(diǎn) E 、F , AC 與EF 交于點(diǎn)O ,連結(jié) AF 、CE 。
(1)求證:四邊形 AFCE 是菱形;
(2)若 AB 4, AD 8 ,求菱形 AFCE 的邊長(zhǎng)。
【答案】(1)見解析;(2)3.
【解析】
(1)由矩形的性質(zhì)得出AD∥BC,∠EAO=∠FCO,證明△AEO≌△CFO,得出AE=CF,證出四邊形AFCE是平行四邊形,再由對(duì)角線AC⊥EF,即可得出結(jié)論; (2)設(shè)AF=CF=x,則BF=8-x,在Rt△ABF中,根據(jù)勾股定理得出方程,解方程即可.
(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴∠EAO=∠FCO,
∵EF是AC的垂直平分線,
∴AO=CO,∠EOA=∠FOC=90°,
在△AEO和△CFO中,
,
∴△AEO≌△CFO(ASA),
∴AE=CF,
∴四邊形AFCE是平行四邊形,
又∵AC⊥EF,
∴四邊形AFCE是菱形;
(2)解:∵四邊形AFCE是菱形,
∴AF=CF, 設(shè)AF=CF=x,則BF=8-x,
在Rt△ABF中,AF2=AB2+BF2,
即x2=42+(8-x)2, 解得 x= 3,
∴菱形AFCE的邊長(zhǎng)為3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC與△AED中,∠E=∠C,DE=BC,EA=CA,過A作AF⊥DE垂足為F,DE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接AG,若S四邊形DGBA=6,AF=,則FG的長(zhǎng)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,A、B兩個(gè)旅游點(diǎn)從2010年至2014年“五、一”的旅游人數(shù)變化情況分別用實(shí)線和虛線表示.根據(jù)圖中所示解答以下問題:
(1)B旅游點(diǎn)的旅游人數(shù)相對(duì)上一年,增長(zhǎng)最快的是哪一年?
(2)求A、B兩個(gè)旅游點(diǎn)從2010到2014年旅游人數(shù)的平均數(shù)和方差,并從平均數(shù)和方差的角度,用一句話對(duì)這兩個(gè)旅游點(diǎn)的情況進(jìn)行評(píng)價(jià).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一天課間,頑皮的小明同學(xué)拿著老師的等腰三角板玩,不小心掉到兩根柱子之間,如圖所示,這一幕恰巧被數(shù)學(xué)老師看見了,于是有了下面這道題.
(1)求證:△ADC≌△CEB;
(2)如果每塊磚的厚度a=10cm,請(qǐng)你幫小明求出三角板ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為 2 的正方形 ABCD 中,點(diǎn) P 、Q 分別是邊 AB 、 BC 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn) A 、B 、C 不重合)且始終保持 BP BQ, AQ QE ,QE 交正方形外角平分線CE 于點(diǎn) E , AE 交CD 于點(diǎn) F ,連結(jié) PQ 。
(1)求證: APQ ≌ QCE ;
(2)求QAE 的度數(shù);
(3)設(shè) BQ x ,當(dāng) x 為何值時(shí), QF CE ,并求出此時(shí)AQF 的面積。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列材料:
我們知道|x|的幾何意義是:在數(shù)軸上數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)O的距離,這個(gè)結(jié)論可以推廣為:|x1﹣x2|表示在數(shù)軸上數(shù)x1,x2對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離.
例:解方程|x﹣1|+|x+2|=5.
由絕對(duì)值的幾何意義知,該方程表示:求在數(shù)軸上與1和﹣2的距離之和為5的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù),而在數(shù)軸上,1和﹣2的距離為|1﹣(﹣2)|=3,滿足方程的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)在1的右邊或﹣2的左邊,若x對(duì)應(yīng)點(diǎn)在1的右邊,
由圖可知看出x=2;同理,若x對(duì)應(yīng)點(diǎn)在﹣2的左邊,可得x=﹣3,故原方程的解是x=2或x=﹣3.
參考閱讀材料,解答下列問題:
(1)方程|x﹣2|+|x+3|=7的解為 .
(2)代數(shù)式|x﹣1|+|x+4|的最小值為 .
(3)如圖,點(diǎn)A、B、C是數(shù)軸上的三點(diǎn),A點(diǎn)表示數(shù)是-3,B點(diǎn)表示數(shù)是-1,C點(diǎn)表示數(shù)是6,點(diǎn)A,B,C開始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng),若點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度和3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng),假設(shè)t秒鐘過后,若點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為AB,點(diǎn)A與點(diǎn)C之間的距離表示為AC,點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示為BC.則AB= ,AC= .(用含t的代數(shù)式表示)
(4)在(3)的條件下,若mAC﹣4AB的值不隨著時(shí)間t的變化而改變,試確定m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形的邊長(zhǎng)為,點(diǎn),分別在邊,上,若是的中點(diǎn),且,則的長(zhǎng)為_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題情境
(1)如圖1,已知AB∥CD,∠PBA=125°,∠PCD=155°,求∠BPC的度數(shù).
佩佩同學(xué)的思路:過點(diǎn)P作PG∥AB,進(jìn)而PG∥CD,由平行線的性質(zhì)來求∠BPC,求得∠BPC=
問題遷移
(2)圖2.圖3均是由一塊三角板和一把直尺拼成的圖形,三角板的兩直角邊與直尺的兩邊重合,∠ACB=90°,DF∥CG,AB與FD相交于點(diǎn)E,有一動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動(dòng),連接PE,PA,記∠PED=∠α,∠PAC=∠β.
①如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在C,D兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí),請(qǐng)直接寫出∠APE與∠α,∠β之間的數(shù)量關(guān)系;
②如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在B,D兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí),∠APE與∠α,∠β之間有何數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)判斷并說明理由;
拓展延伸
(3)當(dāng)點(diǎn)P在C,D兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí),若∠PED,∠PAC的角平分線EN,AN相交于點(diǎn)N,請(qǐng)直接寫出∠ANE與∠α,∠β之間的數(shù)量關(guān)系.
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