【題目】問題情境

1)如圖1,已知ABCD,∠PBA125°,∠PCD155°,求∠BPC的度數(shù).

佩佩同學(xué)的思路:過點(diǎn)PPGAB,進(jìn)而PGCD,由平行線的性質(zhì)來求∠BPC,求得∠BPC   

問題遷移

2)圖2.圖3均是由一塊三角板和一把直尺拼成的圖形,三角板的兩直角邊與直尺的兩邊重合,∠ACB90°,DFCG,ABFD相交于點(diǎn)E,有一動點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動,連接PE,PA,記∠PED=∠α,∠PAC=∠β

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)PC,D兩點(diǎn)之間運(yùn)動時(shí),請直接寫出∠APE與∠α,∠β之間的數(shù)量關(guān)系;

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)PBD兩點(diǎn)之間運(yùn)動時(shí),∠APE與∠α,∠β之間有何數(shù)量關(guān)系?請判斷并說明理由;

拓展延伸

3)當(dāng)點(diǎn)PCD兩點(diǎn)之間運(yùn)動時(shí),若∠PED,∠PAC的角平分線EN,AN相交于點(diǎn)N,請直接寫出∠ANE與∠α,∠β之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】180°;(2)①∠APE=∠α+β;②∠APE=∠β﹣∠α,理由見解析;(3)∠ANE(∠α+β

【解析】

1)過點(diǎn)PPGAB,則PGCD,由平行線的性質(zhì)可得∠BPC的度數(shù);

2)①過點(diǎn)PFD的平行線,依據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠APE與∠α,∠β之間的數(shù)量關(guān)系;

②過PPQDF,依據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠β=∠QPA,∠α=∠QPE,即可得到∠APE=∠APQ﹣∠EPQ=∠β﹣∠α

3)過PN分別作FD的平行線,依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義,即可得到∠ANE與∠α,∠β之間的數(shù)量關(guān)系為∠ANE(∠α+β).

解:(1)如圖1,過點(diǎn)PPGAB,則PGCD,

由平行線的性質(zhì)可得∠B+BPG180°,∠C+CPG180°,

又∵∠PBA125°,∠PCD155°

∴∠BPC360°125°155°80°,

故答案為:80°

2)①如圖2,∠APE與∠α,∠β之間的數(shù)量關(guān)系為∠APE=∠α+β;理由如下:

PQDF,

DFCG,

PQCG,

∴∠β=∠QPA,∠α=∠QPE,

∴∠APE=∠APQ+EPQ=∠β+α

②如圖3,∠APE與∠α,∠β之間的數(shù)量關(guān)系為∠APE=∠β﹣∠α;理由如下:

PPQDF,

DFCG,

PQCG

∴∠β=∠QPA,∠α=∠QPE,

∴∠APE=∠APQ﹣∠EPQ=∠β﹣∠α

3)如圖4,∠ANE與∠α,∠β之間的數(shù)量關(guān)系為∠ANE(∠α+β).理由如下:

NQDF,

DFCG,

NQCG

∴∠DEN=∠QNE,∠CAN=∠QNA

EN平分∠DEP,AN平分∠CAP,

∴∠DENα,∠CANβ,

∴∠QNEα,∠QNA,

∴∠ANE=∠QNE +QNAα+β=(∠α+β);

練習(xí)冊系列答案
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