Question

12．（1）如圖1，已知直線AB∥CD，點(diǎn)E是AB上方一點(diǎn)，MF平分∠AME，若點(diǎn)G恰好在MF的反向延長(zhǎng)線上，且NE平分∠CNG，2∠E與∠G互余，求∠AME的大�。�
（2）如圖2，在（1）的條件下，若點(diǎn)P是EM上一動(dòng)點(diǎn)，PQ平分∠MPN，NH平分∠PNC，交AB于點(diǎn)H，PJ∥NH，當(dāng)點(diǎn)P在線段EM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠JPQ的度數(shù)是否改變？若不變，求出其值；若改變，請(qǐng)說(shuō)明你的理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)FG與NE交點(diǎn)為H點(diǎn)，AB與NE的交點(diǎn)I，點(diǎn)在△HNG中由三角形內(nèi)角和定理可知∠G+∠HNG+∠NHG=180°，再由MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠E+∠G=90°可得出90°+$\frac{1}{2}$∠AME=180°，由此可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)PQ平分∠MPN，NH平分∠PNC可得出∠JPQ=∠JPN-$\frac{1}{2}$∠MPN，由此得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖，設(shè)FG與NE交點(diǎn)為H點(diǎn)，AB與NE的交點(diǎn)I，

在△HNG中，∵∠G+∠HNG+∠NHG=180°
∴∠HNG=∠AIE=∠IHM+∠IMH=（∠E+∠EMF）+∠IMH=∠E+（∠EMF+∠IMH ）=∠E+∠AME
∠NHG=∠IHM=∠E+∠EMF=∠E+$\frac{1}{2}$∠AME
∴∠G+∠HNG+∠NHG=∠G+（∠E+∠AME）+（∠E+$\frac{1}{2}$∠AME）=180° （∠G+2∠E）+$\frac{3}{2}$∠AME=180°，即90°+$\frac{3}{2}$∠AME=180°，
∴∠AME=60°；

（2）∠JPQ的度數(shù)不改變，
∵PQ平分∠MPN，NH平分∠PNC，
∴∠JPQ=∠JPN-$\frac{1}{2}$∠MPN
=$\frac{1}{2}$（∠ENC-$\frac{1}{2}$∠MPN）
=$\frac{1}{2}$（∠AOE-$\frac{1}{2}$∠MPN）
=$\frac{1}{2}$∠AME
=30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是平行線的性質(zhì)，涉及到三角形外角的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，難度較大．