Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CP平分∠ACB，CP與AB交于點(diǎn)D，且PA=PB．
①求證：△APB是等腰直角三角形；
②設(shè)PA=m，PC=n，試用m、n的代數(shù)式表示△ABC的周長；
③試探索當(dāng)邊AC、BC的長度變化時(shí)，

DC

AC

+

DC

BC

的值是否發(fā)生變化？若不變，請求出它的值；若變化，試說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）過P作PEPE⊥AC，PF⊥BC，垂足分別是E、F，易證四邊形PECF為正方形，進(jìn)一步可證得Rt△APE≌Rt△BPF，可得出結(jié)論；
（2）利用勾股定理求得AB，利用（1）可得出AE=BF，從而可表示出△ABC的周長為2CE，再用n表示出CE即可求得其周長；
（3）利用△ADC≌△PDB、△ADP≌△CDB，代入計(jì)算，

DC

AC

+

DC

BC

即可．

解答：（1）證明：如圖，過P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分別是E、F，

∴∠PEC=∠PFC=∠ECF=90°，
∴四邊形PECF為矩形，
∵PC平分∠ACB，
∴∠PCE=45°，
∴PE=EC，
∴四邊形PECF為正方形，
∴EP=FP，∠EPF=90°，
在Rt△APE和Rt△BPF中，

EP=FP PA=PB

，
∴Rt△APE≌Rt△BPF（HL），
∴∠EPA=∠FPB，
∴∠APB=90°，
∴△APB是等腰直角三角形；
（2）解：∵PA=m，
∴AB=

2

m，
由Rt△APE≌Rt△BPF可得AE=BF，
∴AC+BC=AE+EC+BC=EC+CF=2EC=2nsin45°=

2

n，
∴△ABC的周長=

2

m+

2

n；
（3）解：不變，理由如下：
由上可得△ADC≌△PDB、△ADP≌△CDB，
∴

DC

DB

=

AC

PB

，

DC

AD

=

BC

AP

，
∴

DC

AC

=

DB

PB

，

DC

BC

=

AD

AP

，
∵AP=PB，
∴

DC

AC

+

DC

BC

=

AB

AP

=

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)及正方形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定等，構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．