Question

我們來(lái)探究“雪花曲線”的有關(guān)問(wèn)題：下圖是邊長(zhǎng)為1的正三角形，將此正三角形的每條邊三等分，而以居中的那一條線段為底邊再作正三角形，然后以其兩腰代替底邊，得到第二個(gè)圖形如下圖；再將下圖的每條邊三等分，并重復(fù)上述的作法，得到第三個(gè)圖形如下圖．
（1）求第5個(gè)圖形周長(zhǎng)．
（2）求第n個(gè)圖形與周長(zhǎng)C的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）注意首先根據(jù)前面幾個(gè)圖形找到相鄰周長(zhǎng)之間的關(guān)系．再進(jìn)一步得到第5個(gè)圖形周長(zhǎng)和第一個(gè)圖形的周長(zhǎng)之間的關(guān)系．
（2）根據(jù)（1）中分析直接得出規(guī)律，依此得出第n個(gè)圖形與周長(zhǎng)C的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）觀察發(fā)現(xiàn)：第二個(gè)圖形在第一個(gè)圖形的周長(zhǎng)的基礎(chǔ)上多了它的周長(zhǎng)的

1

3

．第三個(gè)在第二個(gè)的基礎(chǔ)上，多了其周長(zhǎng)的

1

3

．依此類推，第二個(gè)周長(zhǎng)：3×

4

3

，
第三個(gè)周長(zhǎng)：3×

4

3

×

4

3

，
第四個(gè)周長(zhǎng)：3×

4

3

×

4

3

×

4

3

．
第五個(gè)周長(zhǎng)：3×

4

3

×

4

3

×

4

3

×

4

3

．
則得到的第5個(gè)圖形的周長(zhǎng)是3×（

4

3

）⁴=

256

27

．

（2）n次分形，邊長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的(

4

3

)n，
∴周長(zhǎng)C=3×(

4

3

) (n-1)，
即第n個(gè)圖形與周長(zhǎng)C的函數(shù)關(guān)系式為：C=3×（

4

3

）^n-1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平面圖形，主要培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和空間想象能力．讀懂題目信息并靈活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．