Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)(b，c為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(3，1)，點(diǎn)C(0，4)，頂點(diǎn)為點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AB∥x軸，交y軸于點(diǎn)D，交該二次函數(shù)圖象于點(diǎn)B，連結(jié)BC．

（1）求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）若將該二次函數(shù)圖象向下平移個(gè)單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)與△ABC的外心重合，求的取值；

（3）點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，使得△ACB與△MCP，且CM的對應(yīng)邊為AC，請寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果，不必寫解答過程)．

Answer 1

【答案】（1），M（1，5）；（2）3；（3）（，4）或（，）

【解析】

（1），則，拋物線表達(dá)式為：，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式并解得：，即可求解；

（2）直線的中點(diǎn)坐標(biāo)為：，，則線段的中垂線的函數(shù)表達(dá)式為：，當(dāng)時(shí)，，即外心坐標(biāo)為，即可求解；

（3）分、兩種情況，分別求解．

解：（1），則，拋物線表達(dá)式為：，

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式并解得：，

故拋物線的表達(dá)式為：，

則點(diǎn)；

（2）點(diǎn)函數(shù)的對稱軸為：，則點(diǎn)，點(diǎn)，

直線的中點(diǎn)坐標(biāo)為：，，

則線段的中垂線的函數(shù)表達(dá)式為：，

當(dāng)時(shí)，，即外心坐標(biāo)為，

則二次函數(shù)圖象向下平移了個(gè)單位，

∴m的取值為3；

（3）與相似，且的對應(yīng)邊為，存在或，

點(diǎn)、、、的坐標(biāo)分別為：、、、，

則，，，，

①當(dāng)時(shí)，如圖，

則，即，

解得：，，

設(shè)點(diǎn)，

則，，

解得：，，

故點(diǎn)，；

②當(dāng)時(shí)，如上圖右側(cè)圖，

則點(diǎn)在直線上，直線的表達(dá)式為：，

同理可得：，

設(shè)點(diǎn)，則，

解得：（不合題意的值已舍去），

故點(diǎn)，；

綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為：，或，．