Question

設x₁，x₂是關(guān)于x的一元二次方程x²+2ax+a²+4a-2=0的兩實根，當a為何值時，x₁²+x₂²有最小值？最小值是多少？

Answer 1

【答案】分析：設x₁，x₂是關(guān)于x的一元二次方程x²+2ax+a²+4a-2=0的兩實根，首先：△=（2a）²-4（a²+4a-2）≥0可求得a≤，得到了關(guān)于a的取值范圍．對要求值的式子化簡：x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=2（a-2）²-4，設y=2（a-2）²-4，這是一個關(guān)于a的一元二次方程，其對稱軸是a=2，開口方向向上．根據(jù)開口向上的二次函數(shù)的性質(zhì)：距對稱軸越近，其函數(shù)值越�。�故在a≤的范圍內(nèi)，當時，x₁²+x₂²的值最��；此時，即最小值為．
解答：解：∵△=（2a）²-4（a²+4a-2）≥0，∴
又∵x₁+x₂=-2a，x₁x₂=a²+4a-2．
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=2（a-2）²-4．
設y=2（a-2）²-4，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)．
∵
∴當時，x₁²+x₂²的值最�。�
此時，即最小值為．
點評：本題考查一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)關(guān)系，兩根之和是，兩根之積是．還考查了用二次函數(shù)性質(zhì)解決二次三項式的最小值問題可以轉(zhuǎn)化為利用二次函數(shù)解決．