Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，把∠B，∠D分別翻折，使點B，D分別落在對角線AC上的點E，F(xiàn)處，折痕分別為CM，AN．

（1）求證：△AND≌△CMB；

（2）連接MF、NE，證明四邊形MFNE是平行四邊形；四邊形MFNE是菱形嗎？請說明理由；

（3）點P、Q是矩形的邊CD、AB上的兩點，連接PQ、CQ、MN，如圖2所示，若PQ=CQ，PQ∥MN，且AB=4，BC=3，DN=，求PC的長度．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得出∠DAN=∠NAC，∠BCM=∠ACM，從而根據(jù)AD∥BC可得出∠DAN=∠BCM，從而即可判斷出△ADN≌△CBM．

（2）連接NE、MF，根據(jù)（1）的結(jié)論可得出NF=ME，再由∠NFE=∠MEF可判斷出NF∥ME，在直角三角形NFE中，NE為斜邊，NF為直角邊，可判斷四邊形MFNE不是菱形．

（3）設(shè)AC與MN的交點為O，EF=x，作QG⊥PC于G點，首先求出AC=5，根據(jù)翻折變換知：AF=CE=3，于是可得AF+（CE﹣EF）=5，可得EF=1，在Rt△NFE中，NO2=NF2+OF2，求出NO的長，即NM=PQ=QC=2NO，PC=2．

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=BC，∠B=∠D=90°，

由折疊的性質(zhì)得出∠DAN=∠NAC，∠BCM=∠ACM，

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠BCA，

∴∠DAN=∠BCM，

在Rt△AND和Rt△CMB中，，

∵∴△AND≌△CMB（AAS）

（2）解：由（1）得：△AND≌△CMB，

∴NF=ME，

∵∠NFE=∠MEF，

∴NF∥ME，

∴四邊形MFNE是平行四邊形，

∵MN與EF不垂直，

∴四邊形MFNE不是菱形；

（3）解：設(shè)AC與MN的交點為O，EF=x，作QG⊥PC于G點，如圖所示：

∵AB=4，BC=3，

∴AC=5，

∵AF=CE=BC=3，

∴2AF﹣EF=AC，即6﹣x=5，

解得：x=1，

∴EF=1，

∴CF=2，

由折疊的性質(zhì)得：NF=DN=，

∵OE=OF=EF=，

∴在Rt△NFO中，ON2=OF2+NF2，

∴ON=，

∴MN=2ON=，

∵PQ∥MN，PN∥MQ，

∴四邊形MQPN是平行四邊形，

∴MN=PQ=，

∵PQ=CQ，

∴△PQC是等腰三角形，

∴PG=CG，

在Rt△QPG中，PG2=PQ2﹣QG2，

∴PG==1，

∴PC=2PG=2．