Question

【題目】如圖,△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠BAD＝45°，AD與BE交于點(diǎn)F，連接CF．

(1)求證：BF＝2AE；

(2)若CD=2，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AD=2+2.

【解析】

（1）根據(jù)角邊角定理證明△ADC≌△BDF，得AC=BF，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知AC=2AE，從而得BF=2AE;

（2）根據(jù)△ADC≌△BDF，得DF=CD，根據(jù)勾股定理得CF，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等得AF=CF，DF+AF即為AD的長(zhǎng).

（1）證明：∵AD⊥BC，∠BAD＝45°，

∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，

∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠CBE＋∠ACD＝90°

∴∠CAD=∠CBE，在△ADC和△BDF中，

，

∴△ADC≌△BDF(ASA)，∴BF＝AC，∵AB＝BC，BE⊥AC，

∴AC=2AF，∴BF=2AE；

(2)解：∵△ADC≌△BDF，∴DF=CD=2，在Rt△CDF中，

，

∵BE⊥AC，AE＝EC，∴AF=CF=2，

∴.