Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，已知AB=8，BC=6，矩形ABCD在直線上繞其右下角的頂點(diǎn)B向右旋轉(zhuǎn)90°至矩形A′BC′D′的位置，再繞右下角的頂點(diǎn)C′繼續(xù)向右旋轉(zhuǎn)90°至矩形A′′B′C′D′′的位置，……，以此類推，這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2 019次后，頂點(diǎn)A在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路線之和是_________．

Answer 1

【答案】6060π

【解析】

首先求得每一次轉(zhuǎn)動(dòng)的路線的長，發(fā)現(xiàn)每4次循環(huán)，找到規(guī)律然后計(jì)算即可．

∵在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，∴BD=AC=10．矩形ABCD繞頂點(diǎn)B向右旋轉(zhuǎn)90°至矩形A′BC′D′的位置時(shí)，點(diǎn)A經(jīng)過的路線是以點(diǎn)B為圓心，圓心角為90°，半徑為8的弧長；由矩形A′BC′D′的位置旋轉(zhuǎn)到矩形A′′B′C′D′′的位置時(shí)，頂點(diǎn)A經(jīng)過的路線是以點(diǎn)C′為圓心，圓心角為90°，半徑為10的弧長；由矩形A′′B′C′D′′的位置旋轉(zhuǎn)到矩形A′′′B′′C′′D′′的位置時(shí)，頂點(diǎn)A經(jīng)過的路線是以點(diǎn)D′′為圓心，圓心角為90°，半徑為6的弧長；觀察可知，由矩形A′′B′′C′′D′′的位置旋轉(zhuǎn)到矩形A′′′B′′′C′′′D′′′的位置時(shí)，頂點(diǎn)A′′′為旋轉(zhuǎn)中心，位置不變，經(jīng)過四次旋轉(zhuǎn)后又回到初始位置，即四次一個(gè)循環(huán)．在一個(gè)循環(huán)中，頂點(diǎn)A經(jīng)過的路線的長為，又∵2019÷4=504……3,∴連續(xù)旋轉(zhuǎn)2019次后，頂點(diǎn)A在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路線之和為12π×504+12π=6060π．