Question

如圖1，已知等邊△ABC的邊長為1，D、E、F分別是AB、BC、AC邊上的點（均不與點A、B、C重合），記△DEF的周長為p．
（1）若D、E、F分別是AB、BC、AC邊上的中點，則p=________；
（2）若D、E、F分別是AB、BC、AC邊上任意點，則p的取值范圍是________．
小亮和小明對第（2）問中的最小值進行了討論，小亮先提出了自己的想法：將△ABC以AC邊為軸翻折一次得△AB₁C，再將△AB₁C以B₁C為軸翻折一次得△A₁B₁C，如圖2所示．則由軸對稱的性質(zhì)可知，DF+FE₁+E₁D₂=p，根據(jù)兩點之間線段最短，可得p≥DD₂．老師聽了后說：“你的想法很好，但DD₂的長度會因點D的位置變化而變化，所以還得不出我們想要的結(jié)果．”小明接過老師的話說：“那我們繼續(xù)再翻折3次就可以了”．請參考他們的想法，寫出你的答案．

Answer 1

解：（1）∵等邊△ABC的邊長為1，
∴AB=AC=BC=1，
∵D、E、F分別是AB、BC、AC邊上的中點，
∴DE=AC=，EF=AB=，DF=BC=，
∴△DEF的周長為p=++=；

（2）
根據(jù)題意與由軸對稱的性質(zhì)可知，D₂F₂+F₂E₃+E₃D₄=p，
∵D₂與D₄分別是A₁B₁與A₂B₂的中點時D₂、F₂、E₃、D₄共線，
∴當D₂與D₄分別是A₁B₁與A₂B₂的中點時，p最小值為：（A₁B₂+A₂B₁）=，
∵p＜AB+AC+BC=3，
∴p的取值范圍是：≤p＜3．
故答案為：（1），（2）≤p＜3．
分析：（1）根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)即可求得答案；
（2）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)將△ABC翻折5次，再利用梯形的性質(zhì)求解即可．
點評：此題考查了三角形與梯形中位線的性質(zhì)，以及翻折變換的性質(zhì)．此題綜合性很強，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．