Question

9．探索：小明和小亮在研究一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：已知AB∥CD，AB和CD都不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，探索∠P與∠A、∠的數(shù)量關(guān)系．
發(fā)現(xiàn)：在圖1中，小明和小亮都發(fā)現(xiàn)：∠APC=∠A+∠C；

小明是這樣證明的：過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB
∴∠APQ=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（平行于同一直線的兩直線平行）
∴∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
小亮是這樣證明的：過(guò)點(diǎn)作PQ∥AB∥CD．
∴∠APQ=∠A，∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
請(qǐng)?jiān)谏厦孀C明過(guò)程的過(guò)程的橫線上，填寫(xiě)依據(jù)；兩人的證明過(guò)程中，完全正確的是小明的證法．
應(yīng)用：
在圖2中，若∠A=120°，∠C=140°，則∠P的度數(shù)為100°；
在圖3中，若∠A=30°，∠C=70°，則∠P的度數(shù)為40°；
拓展：
在圖4中，探索∠P與∠A，∠C的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線，用相似的證明方法運(yùn)用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明即可．

解答 解：如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，

∴∠APQ=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（平行于同一直線的兩直線平行）
∴∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C，
故兩人的證明過(guò)程中，完全正確的是小明的證法；
如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，
∴∠APE+∠A=180°，∠A=120°，
∴∠APE=60°，
∵PE∥AB，AB∥CD．
∴PE∥CD（平行于同一直線的兩直線平行）
∴∠CPE+∠C=180°，∠C=140°，
∴∠CPE=40°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE
=100°；
如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PF∥AB，
∴∠APF=∠A，
∵PF∥AB，AB∥CD．
∴PF∥CD，
∴∠CPF=∠C
∴∠CPF-∠APF=∠C-∠A
即∠APC=∠C-∠A=40°；
如圖4，過(guò)點(diǎn)P作PG∥AB，
∴∠APG+∠A=180°，
∴∠APG=180°-∠A
∵PG∥AB，AB∥CD，
∴PG∥CD，（平行于同一直線的兩直線平行）
∴∠CPG+∠C=180°，
∴∠CPG=180°-∠C
∴∠APC=∠CPG-∠APG=∠A-∠C．
故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；平行于同一直線的兩直線平行；小明的證法；100°；40°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．