Question

已知：如圖，點(diǎn)D是線段BC上的任意一點(diǎn)，△ABD和△DCE都是等邊三角形，AD與BE交于點(diǎn)F．
（1）求證：△BDE≌△ADC；
（2）求證：AB²=BC•AF；
（3）若BD=12，CD=6，求∠ABF的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）由△ABD和△DCE都是等邊三角形，得出BD=AD，DE=DC，∠FAB=∠ABC=∠ADB=∠EDC，進(jìn)而得出∠BDE=∠ADC，即可求證△BDE≌△ADC；
（2）由△FAB∽△ABC，得出

AF

AB

=

AB

BC

，即可得出AB²=BC•AF，
（3）由△FAB∽△ABC，得出∠ABF=∠ACB，可求sin∠ACB，即可得出∠ABF的正弦值．

解答：證明：（1）∵△ABD和△DCE都是等邊三角形
∴BD=AD，DE=DC，∠FAB=∠ABC=∠ADB=∠EDC=60°，
∴∠BDE=∠ADC． 
在△BDE和△ADC中，

BD=AD ∠BDE=∠ADC DE=DC

，
∴△BDE≌△ADC（SAS）；
（2）∵△BDE≌△ADC
∴∠DBE=∠DAC
∵∠ABC=∠ADB=60°
∴∠ABF=∠BCA
∵∠FAB=∠ABC，∠ABF=∠BCA，
∴△FAB∽△ABC，
∴

AF

AB

=

AB

BC

，
即AB²=BC•AF，
（3）如圖，

∵△FAB∽△ABC
∴∠ABF=∠ACB，
過A作AM⊥BC于點(diǎn)M  
∵△ABD是等邊三角形，BD=12
∴MD=6，AM=6

3

，
在Rt△AMC中，AC=

AM2+MC2

(6 3 )2+122

=6

7

，
∴sin∠ACB=

AM

AC

=

6 3

6 7

=

21

7

，
即sin∠ABF=

21

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理，解題的關(guān)鍵是證出△FAB∽△ABC．