Question

已知x₁，x₂是關(guān)于x的方程x²+2（k-1）x+k²=0的兩個實數(shù)根，是否存在常數(shù)k，使

1

x1

+

1

x2

=

3

2

成立？若存在，求k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關(guān)系,根的判別式

專題：計算題

分析：先根據(jù)判別式的意義得到△=4（k-1）²-4k²≥0，解得k≤

1

2

，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=-2（k-1），x₁•x₂=k²，把

1

x1

+

1

x2

=

3

2

變形得到

x1+x2

x1x2

=

3

2

，所以

-2(k-1)

k2

=

3

2

，解此方程得k₁=

2

3

，k₂=-2，然后根據(jù)k的范圍確定k的值．

解答：解：存在．
根據(jù)題意得△=4（k-1）²-4k²≥0，解得k≤

1

2

，
∵x₁+x₂=-2（k-1），x₁•x₂=k²，
而

1

x1

+

1

x2

=

3

2

，
∴

x1+x2

x1x2

=

3

2

，
∴

-2(k-1)

k2

=

3

2

，
整理得3k²+4k-4=0，解得k₁=

2

3

，k₂=-2，
而k≤

1

2

，
∴k的值為-2．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了根的判別式．