Question

【題目】如圖，在以為直徑的半上有C，點(diǎn)在上，過(guò)圓心作的于點(diǎn)的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連結(jié)，若．

試說(shuō)明；

若的面積為面積的倍，連接交于點(diǎn)，求的值和的長(zhǎng)：

在的條件下，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，直接寫(xiě)的長(zhǎng)

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）；（3）

【解析】

（1）連接BC由垂徑定理可得OF垂直平分CD，得出△CDE是等腰直角三角形，∠DCE=∠CDE=45°，再根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得出答案；

（2）連接OC、BD，得出 AE=3DE=，AD=，由勾股定理計(jì)算出AC的長(zhǎng)度，再由圓周角定理證出△ABC是等腰直角三角形，得出BC、AC和AB的長(zhǎng)度，進(jìn)而由勾股定理得出BD的長(zhǎng)度，再利用圓周角定理即可得出tan∠ACD的值；證明△PCF∽△ABD，利用相似比即可得出OP的長(zhǎng)度；

（3）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出OC⊥AB，證明△OCG∽△EAG，利用相似比即可得出答案．

解：（1）證明：連接BC，如圖1所示：

∵OF⊥CD

∴DF=CF

∴DE=EC

∵∠DEC=90°

∴△CDE是等腰直角三角形

∴∠DCE=∠CDE=45°

∴∠ABC=∠CDE=45°

∵AB是直徑

∴∠ACB=90°

∴∠BAC=45°

（2）連接OC、BD，如圖2所示：

∵DF=CF=1

∴CD=2，△CDE是等腰直角三角形

∴ED=EC=

∵△ACE的面積為△DCE面積的3倍

∴AE=3DE=，AD=

∴AC=

∵AB是半圓的直徑

∴∠ACB=∠ADB=90°

∵∠BAC=45°

∴△ABC是等腰直角三角形

∴BC=AC=，AB=AC=2

∴OC=OA=OB=，BD=

∵∠ACD=∠ABD

∴tan∠ACD= tan∠ABD=

∵∠PFC=∠ADB=90°

∴△PCF∽△ABD

∴

解得：PF=

∵OF=

∴OP=OF-PF=

（3）如圖3所示：

∵△ABC是等腰直角三角形，OA=OB

∴OC⊥AB

∴∠COG=∠DEC=90°

∵∠G=∠G

∴△OCG∽△EAG

∴

即

∴BG=，CG=