Question

【題目】定義：點(diǎn)P（a，b）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P'，以PP'為邊作等邊△PP'C，則稱點(diǎn)C為P的“等邊對(duì)稱點(diǎn)”；

（1）若P（1，），求點(diǎn)P的“等邊對(duì)稱點(diǎn)”的坐標(biāo)．

（2）若P點(diǎn)是雙曲線y＝（x＞0）上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P的“等邊對(duì)稱點(diǎn)”點(diǎn)C在第四象限時(shí)，

①如圖（1），請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)C是否也會(huì)在某一函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)？如果是，請(qǐng)求出此函數(shù)的解析式；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

②如圖（2），已知點(diǎn)A（1，2），B（2，1），點(diǎn)G是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在y軸上，若以A、G、F、C這四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)C的縱坐標(biāo)yc的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（3，）；（2）①是，y＝﹣（x＞0）；②yc≤﹣6或﹣3＜yc≤﹣2

【解析】

（1）P（1，）則P'（﹣1，﹣），可求PP'＝4；設(shè)C（m，n），有PC＝P'C＝4，通過(guò)解方程可得m＝﹣n，再進(jìn)行運(yùn)算即可；

（2）①設(shè)P（c，）則P'（﹣c，﹣），可求PP'＝2 ；設(shè)C（s，t），有PC＝P'C＝2，通過(guò)解方程可得s＝﹣，t＝c，令 ，消元c即可得xy＝﹣6；

②當(dāng)AG為平行四邊形的邊時(shí)，G與B重合時(shí)，為一臨界點(diǎn)通過(guò)平移可求得C（1，﹣6），yc≤﹣6；

當(dāng)AG為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，G與B重合時(shí)，求得C（3，﹣2），G與A重合時(shí)，C（2，﹣3），此時(shí)﹣3＜yc≤﹣2．

解：（1）∵P（1，），

∴P'（﹣1，﹣），

∴PP'＝4，

設(shè)C（m，n），

∴等邊△PP′C，

∴PC＝P'C＝4，

∴ ，

∴m＝﹣n，

∴（﹣n﹣1）2+（n﹣）2＝16．

解得n＝或﹣，

∴m＝﹣3或m＝3．

如圖1，觀察點(diǎn)C位于第四象限，則C（﹣3，）．即點(diǎn)P的“等邊對(duì)稱點(diǎn)”的坐標(biāo)是（3，）．

（2）①設(shè)P（c，），

∴P'（﹣c，﹣），

∴PP'＝2，

設(shè)C（s，t），

PC＝P'C＝2，

∴，

∴s＝﹣，

∴t2＝3c2，

∴t＝c，

∴C（﹣，c）或C（，﹣c），

∴點(diǎn)C在第四象限，c＞0，

∴C（，﹣c），

令，

∴xy＝﹣6，即y＝﹣（x＞0）；

②當(dāng)AG為平行四邊形的邊時(shí)，G與B重合時(shí)，為一臨界點(diǎn)通過(guò)平移可求得C（1，﹣6），

∴yc≤﹣6；

當(dāng)AG為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，G與B重合時(shí)，求得C（3，﹣2），

G與A重合時(shí)，C（2，﹣3），

此時(shí)﹣3＜yc≤﹣2，

綜上所述：yc≤﹣6或﹣3＜yc≤﹣2．