Question

如圖，Rt△AB′C′是由Rt△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到的．若BF=AC，∠ABC=40°，則∠CAC′=

 

．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：計算題

分析：先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AC=AC′，AB=AB′，∠CAC′=∠BAB′，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得到∠1=∠3=

1

2

（180°-∠CAC′），∠2=

1

2

（180°-∠BAB′），則∠1=∠2，再利用“AAS”證明△BEF≌△CEA，得到EB=EC，所以∠ECB=∠EBC=40°，則利用互余可計算出∠1=50°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可計算出∠CAC′．

解答：解：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到的，
∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAC′=∠BAB′，
∴∠1=∠3=

1

2

（180°-∠CAC′），∠2=

1

2

（180°-∠BAB′），
∴∠1=∠2，
在△BEF和△CEA中，

∠BEF=∠CEA ∠2=∠1 BF=CA

，
∴△BEF≌△CEA（AAS），
∴EB=EC，
∴∠ECB=∠EBC=40°，
∴∠1=90°-∠ECB=50°，
∴∠CAC′=180°-2∠1=100°．
故答案為100°．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．