【題目】如圖1,在正方形ABCD內(nèi)作∠EAF=45°,AE交BC于點E,AF交CD于點F,連接EF,過點A作AH⊥EF,垂足為H.

(1)如圖2,將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG.
①求證:△AGE≌△AFE;
②若BE=2,DF=3,求AH的長.
(2)如圖3,連接BD交AE于點M,交AF于點N.請?zhí)骄坎⒉孪耄壕段BM,MN,ND之間有什么數(shù)量關系?并說明理由.

【答案】
(1)

解:①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:AF=AG,∠DAF=∠BAG.

∵四邊形ABCD為正方形,

∴∠BAD=90°.

又∵∠EAF=45°,

∴∠BAE+∠DAF=45°.

∴∠BAG+∠BAE=45°.

∴∠GAE=∠FAE.

在△GAE和△FAE中

∴△GAE≌△FAE.

②∵△GAE≌△FAE,AB⊥GE,AH⊥EF,

∴AB=AH,GE=EF=5.

設正方形的邊長為x,則EC=x﹣2,F(xiàn)C=x﹣3.

在Rt△EFC中,由勾股定理得:EF2=FC2+EC2,即(x﹣2)2+(x﹣3)2=25.

解得:x=6.

∴AB=6.

∴AH=6.


(2)

解:如圖所示:將△ABM逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△ADM′.

∵四邊形ABCD為正方形,

∴∠ABD=∠ADB=45°.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:∠ABM=∠ADM′=45°,BE=DM′.

∴∠NDM′=90°.

∴NM′2=ND2+DM′2

∵∠EAM′=90°,∠EAF=45°,

∴∠EAF=∠FAM′=45°.

在△AMN和△ANM′中, ,

∴△AMN≌△ANM′.

∴MN=NM′.

又∵BM=DM′,

∴MN2=ND2+BM2


【解析】本題主要考查的是四邊形的綜合應用,解答本題主要應用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應用,正方形的性質(zhì),依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)構造全等三角形和直角三角形是解題的關鍵.(1)①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:AF=AG,∠DAF=∠BAG,接下來在證明∠GAE=∠FAE,然后依據(jù)SAS證明△GAE≌△FAE即可;②由全等三角形的性質(zhì)可知:AB=AH,GE=EF=5.設正方形的邊長為x,接下來,在Rt△EFC中,依據(jù)勾股定理列方程求解即可;(2)將△ABM逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△ADM′.在△NM′D中依據(jù)勾股定理可證明NM′2=ND2+DM′2 , 接下來證明△AMN≌△ANM′,于的得到MN=NM′,最后再由BM=DM′證明即可.

練習冊系列答案
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類比研究:
(3)BO、CO分別是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分線,它們交于點O,∠CBO= ∠DBC,∠BCO= ∠ECB,∠A=α,請猜想∠BOC=

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