Question

4．如圖，在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，DF∥AC，交BC于點(diǎn)F．
（1）求證：DE=BF；
（2）連接EF，請你猜想線段EF和AB有何關(guān)系？并對你的猜想加以證明．

Answer 1

分析 （1）利用平行線的性質(zhì)得到相等的角，證明△ADE≌△DBF，即可得到DE=BF．
（2）EF∥AB且 EF=$\frac{1}{2}$AB，證明△DBF≌△FED，得到EF=BD=$\frac{1}{2}$AB，∠BDF=∠DFE，所以EF∥AB．

解答 （1）∵D為AB的中點(diǎn)，
∴AD=DB，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∵DF∥AC，
∴∠DFB=∠C，
∴∠AED=∠DFB，
在△ADE和△DBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠B}\\{∠AED=∠DFB}\\{AD=DB}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△DBF，
∴DE=BF．
（2）EF∥AB且 EF=$\frac{1}{2}$AB，如圖，

∵DE∥BC，
∴∠EDF=∠DFB，
在△DBF和△FED中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=BF}\\{∠EDF=∠DFB}\\{DF=FD}\end{array}\right.$
∴△DBF≌△FED
∴EF=BD=$\frac{1}{2}$AB，∠BDF=∠DFE，
∴EF∥AB．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理，解決本題的關(guān)鍵是利用平行線的性質(zhì)得到相等的角證明三角形全等．