Question

在平面直角坐標系xOy中，A（0，2），B（0，6），動點C在直線y=x上．若以A、B、C三點為頂點的三角形是等腰三角形，則點C的坐標是多少？

Answer 1

考點：等腰三角形的判定,一次函數圖象上點的坐標特征

專題：

分析：根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AB的垂直平分線與直線y=x的交點為點C，即可求得C的坐標，再求出AB的長，以點A為圓心，以AB的長為半徑畫弧，與直線y=x的交點為點C，根據勾股定理即可求得C的坐標，求出點B到直線y=x的距離可知以點B為圓心，以AB的長為半徑畫弧，與直線沒有交點．

解答：解答：解：如圖，AB的垂直平分線與直線y=x相交于點C₁，
∵A（0，2），B（0，6），
∴AB=6-2=4，
∴C₁的縱坐標為4，
∴C₁（4，4），
以點A為圓心，以AB的長為半徑畫弧，與直線y=x的交點為C₂，C₃，
設C的坐標為（m，m），
根據題意：m²+（m-2）²=6²，
解得：m=1+

7

，或m=1-

7

，
∴C₂（1+

7

，1+

7

），C₃（1-

7

，1-

7

）；
∵OB=6，
∴點B到直線y=x的距離為6×

2

2

=3

2

，
∵3

2

＞4，
∴以點B為圓心，以AB的長為半徑畫弧，與直線y=x沒有交點，
所以點C的坐標為（4，4）或（1+

7

，1+

7

）或（1-

7

，1-

7

）；

點評：本題考查了等腰三角形的判定，坐標與圖形性質，勾股定理的應用，作出圖形，利用數形結合的思想求解更形象直觀．